a) Conhecendo as leis que definem os coeficientes de dilatação térmica e de compressibilidade isotérmica (
e
) mostre que o trabalho de expansão é calculado por:
.
b) Demonstre que para o gás ideal, esta expressão se reduz a :
b) Demonstre que para o gás ideal, esta expressão se reduz a :
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas partes:
a) Queremos mostrar que o trabalho de expansão pode ser calculado usando os coeficientes de dilatação térmica (
) e de compressibilidade isotérmica (
).
b) Precisamos demonstrar que, para um gás ideal, essa expressão se simplifica para uma forma específica.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses coeficientes e como eles se relacionam com o trabalho de expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada coeficiente:
-
Coeficiente de dilatação térmica (
): Ele nos diz como o volume de um sistema muda com a temperatura, mantendo a pressão constante. Matematicamente, é definido como: -
Coeficiente de compressibilidade isotérmica (
): Ele indica como o volume muda com a pressão, mantendo a temperatura constante. Sua definição é:
Passo 3
Agora, vamos expressar a variação do volume (
) em termos de variações de temperatura (
) e pressão (
). Usando os coeficientes que definimos:
Isso significa que o volume muda tanto por causa da temperatura quanto da pressão.
Passo 4
O trabalho de expansão (
) é dado por:
Isso representa o trabalho feito pelo sistema ao expandir contra uma pressão externa
.
Passo 5
Substituindo a expressão de
que encontramos no Passo 3 na fórmula do trabalho:
Simplificando:
Pronto! Isso responde à parte a) do exercício.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que, para um gás ideal, a expressão do trabalho de expansão se reduz a:
Passo 7
Para um gás ideal, a equação de estado é:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Passo 8
Primeiro, vamos encontrar os coeficientes
e
para o gás ideal.
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo
e
na expressão que encontramos na parte a):
Passo 10
Sabemos que para um gás ideal,
. Substituindo isso na expressão:
Simplificando:
Como
, então:
Portanto:
Resposta
a)
b)