a) Conhecendo as leis que definem os coeficientes de dilatação térmica e de compressibilidade isotérmica ( alpha e beta ) mostre que o trabalho de expansão é calculado por:
de.
b) Demonstre que para o gás ideal, esta expressão se reduz a :
de

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas partes:
a) Queremos mostrar que o trabalho de expansão pode ser calculado usando os coeficientes de dilatação térmica ( alpha) e de compressibilidade isotérmica ( beta).
b) Precisamos demonstrar que, para um gás ideal, essa expressão se simplifica para uma forma específica.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses coeficientes e como eles se relacionam com o trabalho de expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada coeficiente:
  • Coeficiente de dilatação térmica ( alpha): Ele nos diz como o volume de um sistema muda com a temperatura, mantendo a pressão constante. Matematicamente, é definido como:
    alpha = 1V(partial Vpartial T)P
  • Coeficiente de compressibilidade isotérmica ( beta): Ele indica como o volume muda com a pressão, mantendo a temperatura constante. Sua definição é:
    beta = -1V(partial Vpartial P)T

Passo 3

Agora, vamos expressar a variação do volume ( dV) em termos de variações de temperatura ( dT) e pressão ( dP). Usando os coeficientes que definimos:
dV = V(alpha dT - beta dP)
Isso significa que o volume muda tanto por causa da temperatura quanto da pressão.

Passo 4

O trabalho de expansão ( de) é dado por:
de
Isso representa o trabalho feito pelo sistema ao expandir contra uma pressão externa P.

Passo 5

Substituindo a expressão de dV que encontramos no Passo 3 na fórmula do trabalho:
de
Simplificando:
de
Pronto! Isso responde à parte a) do exercício.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que, para um gás ideal, a expressão do trabalho de expansão se reduz a:
de

Passo 7

Para um gás ideal, a equação de estado é:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar os coeficientes alpha e beta para o gás ideal.
Para alpha:
alpha = 1V(partial Vpartial T)P = 1V cdot nRP = 1T
Para beta:
beta = -1V(partial Vpartial P)T = -1V cdot (-nRTP^2) = 1P

Passo 9

Substituindo alpha = 1T e beta = 1P na expressão que encontramos na parte a):
de

Passo 10

Sabemos que para um gás ideal, PV = nRT. Substituindo isso na expressão:
de
Simplificando:
de
Como V = nRTP, então:
nRT cdot dPP = V dP
Portanto:
de

Resposta

a)
de
b)
de

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