a) Conhecendo as leis que definem os coeficientes de dilatação térmica e de compressibilidade isotérmica ( e ) mostre que o trabalho de expansão é calculado por:
.
b) Demonstre que para o gás ideal, esta expressão se reduz a :

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas partes:
a) Queremos mostrar que o trabalho de expansão pode ser calculado usando os coeficientes de dilatação térmica ( ) e de compressibilidade isotérmica ( ).
b) Precisamos demonstrar que, para um gás ideal, essa expressão se simplifica para uma forma específica.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses coeficientes e como eles se relacionam com o trabalho de expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada coeficiente:
  • Coeficiente de dilatação térmica ( ): Ele nos diz como o volume de um sistema muda com a temperatura, mantendo a pressão constante. Matematicamente, é definido como:
  • Coeficiente de compressibilidade isotérmica ( ): Ele indica como o volume muda com a pressão, mantendo a temperatura constante. Sua definição é:

Passo 3

Agora, vamos expressar a variação do volume ( ) em termos de variações de temperatura ( ) e pressão ( ). Usando os coeficientes que definimos:
Isso significa que o volume muda tanto por causa da temperatura quanto da pressão.

Passo 4

O trabalho de expansão ( ) é dado por:
Isso representa o trabalho feito pelo sistema ao expandir contra uma pressão externa .

Passo 5

Substituindo a expressão de que encontramos no Passo 3 na fórmula do trabalho:
Simplificando:
Pronto! Isso responde à parte a) do exercício.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Queremos mostrar que, para um gás ideal, a expressão do trabalho de expansão se reduz a:

Passo 7

Para um gás ideal, a equação de estado é:
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de mols,
  • é a constante dos gases,
  • é a temperatura.

Passo 8

Primeiro, vamos encontrar os coeficientes e para o gás ideal.
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo e na expressão que encontramos na parte a):

Passo 10

Sabemos que para um gás ideal, . Substituindo isso na expressão:
Simplificando:
Como , então:
Portanto:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Um mol de xenônio (considerado como G.I.), inicialmente sob 2 atm e 273 K é levado a 4 atm através de um processo . Calcule: e . Calcule também capacidade calorífica média: .
a) Um mol de gás ideal monoatômico é comprimido adiabaticamente em um único estágio, aplicando-se uma pressão constante de 10 atm, até atingir um estado de equilíbrio. Considerando e , calcule , w, q, e .
b) Se o gás, agora comprimido, for deixado expandir contra uma pressão externa de 1 atm , ainda adiabaticamente, quais serão os novos valores de Tc) A transformação foi cíclica? Justifique.
O estado fundamental dos ânions dos halogênios diatômicos homonucleares é classificado como e os estados excitados como e [J. Phys. Chem. 100, 9649 (1996)]. Para quais desses estados excitados são permitidas transições por absorção de fótons? Resolva o exercício usando a tabela de caracteres do grupo .
Converta: ;