Conhecendo os limites fundamentais lim x +infty(1+1x)^x=e e lim x 0 e^x-1x=1, calcule os limites a seguir: lim x +infty(1+12 x)^-4 x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão quer. A gente precisa calcular o limite:
lim x +infty(1+12 x)^-4 x
Para isso, vamos usar dois limites fundamentais que a gente já conhece:
Nosso objetivo é manipular a expressão que a gente tem para conseguir relacioná-la com esses limites conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão original:
(1+12 x)^-4 x
A gente pode reescrever isso de uma maneira que fique mais fácil de comparar com o limite que já conhecemos. Vamos separar o expoente:
(1+12 x)^-4 x = [(1+12 x)^2 x]^-2
Agora, observamos que temos uma expressão que se parece com , onde .

Passo 3

Sabemos que:
lim y +infty(1+1y)^y=e
No nosso caso, lim x +infty(1+12 x)^2 x = e e quando tende a , também tende a . Então,

Passo 4

Voltando à nossa expressão reescrita:
[(1+12 x)^2 x]^-2
Substituindo o limite que acabamos de encontrar:
lim x +infty[(1+12 x)^2 x]^-2 = e^-2

Resposta

lim x +infty(1+12 x)^-4 x = e^-2

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