Usando seus conhecimentos sobre cálculo de limites, calcule os limites a seguir: lim x +infty sen(1x)1+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x +infty sen(1x)1+x^2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites, mais especificamente quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e como comparar o crescimento do numerador e do denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o termo quando tende a . Quanto maior for , menor será . Na verdade, vai se aproximando de zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a . Isso significa que quando está perto de zero, .

Passo 4

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
sen(1x)1+x^2 approx 1x1 + x^2 = 1x(1 + x^2)

Passo 5

Agora, vamos simplificar 1x + x^3 = 1x^3 + x . Podemos escrever isso como:

Passo 6

Observando o denominador 1x^3 , para grande, o termo domina, então a expressão fica aproximadamente:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o limite de limx to +infty 1x^3 = 0 quando vai para :

Resposta

O limite é igual a 0.

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