Conhecendo os limites fundamentais lim x +infty(1+1x)^x=e e lim x 0 e^x-1x=1, calcule os limites a seguir: lim x +infty(1+13 x)^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite que envolve exponenciais! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de limites e exponenciais que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental que diz que , onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. Esse limite é super importante porque mostra como cresce uma função exponencial baseada em uma fração que se aproxima de zero.

Passo 3

No nosso caso, a expressão é um pouco diferente: . Mas não se preocupe, a gente consegue adaptar o limite que conhecemos para resolver isso. Observe que é igual a .

Passo 4

Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
(1 + 13x)^x = [(1 + 13x)^3x]^13
Aqui, a gente elevou a base a e depois tirou a raiz cúbica, o que é uma jogada legal para facilitar o nosso cálculo.

Passo 5

Agora, observe que limx +infty (1 + 13x)^3x = e tem a mesma forma do limite conhecido quando e tende ao infinito. Então, esse limite também vale :

Passo 6

Voltando à nossa expressão original, substituímos o limite que acabamos de calcular:
limx +infty (1 + 13x)^x = limx +infty [(1 + 13x)^3x]^13 = e^13

Resposta

O limite é .

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