Mostre as seguintes propriedades de logaritmos: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que , onde e . Isso está dentro do conteúdo de propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender como logaritmos funcionam e utilizar a definição básica deles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um logaritmo. Se temos , então . Ou seja, o logaritmo é o expoente ao qual a base deve ser elevada para resultar em .

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão . Segundo a definição do logaritmo, isso significa que elevado a certo número resulta em . Vamos chamar esse número de :

Passo 4

Podemos reescrever a fração como . Assim:

Passo 5

Sabemos que e . Substituindo na equação:

Passo 6

Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:

Passo 7

Como as bases são iguais ( ) e , podemos igualar os expoentes:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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