Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir: sen(arccos(x)) = raiz(1 - x^2), x em (0, pi/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que , onde x está entre 0 e pi / 2. Estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno, e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A função nos dá um ângulo cujo cosseno é x. Ou seja, se , então .

Passo 3

Agora, queremos encontrar , que é o seno desse ângulo theta. Sabemos que, em um triângulo retângulo, e .

Passo 4

Vamos imaginar um triângulo retângulo onde o ângulo theta tem . Então, se a hipotenusa é 1 (para simplificar), o cateto adjacente a theta é x e o cateto oposto é o que queremos descobrir.

Passo 5

Usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o cateto oposto:
Isso porque .

Passo 6

Agora que temos o cateto oposto, podemos encontrar o seno de theta:

Resposta

Portanto, .

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