Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que , onde está entre e . Estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno, e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . A função nos dá um ângulo cujo cosseno é . Ou seja, se , então .

Passo 3

Agora, queremos encontrar , que é o seno desse ângulo . Sabemos que, em um triângulo retângulo, e .

Passo 4

Vamos imaginar um triângulo retângulo onde o ângulo tem . Então, se a hipotenusa é 1 (para simplificar), o cateto adjacente a é e o cateto oposto é o que queremos descobrir.

Passo 5

Usamos o teorema de Pitágoras para encontrar o cateto oposto:
Isso porque .

Passo 6

Agora que temos o cateto oposto, podemos encontrar o seno de :

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Mostre as seguintes propriedades de logaritmos: .
Usando seus conhecimentos sobre cálculo de limites, calcule os limites a seguir: .
Usando seus conhecimentos sobre cálculo de limites, calcule os limites a seguir: .
Conhecendo os limites fundamentais e , calcule os limites a seguir: .