Conhecendo os limites fundamentais e , calcule os limites a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que acabam dando uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos na expressão. No numerador temos e no denominador . Então, realmente, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos usar outra técnica para calcular o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação do tipo , uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e, em seguida, calcular o limite da nova fração resultante.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador : A derivada de é e a derivada de (uma constante) é 0. Então, a derivada total é .
  • Derivada do denominador : A derivada de é e a derivada de (uma constante) é 0. Então, a derivada total é .

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas na expressão do limite:
Substituindo :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Mostre as seguintes propriedades de logaritmos: .
Conhecendo os limites fundamentais e , calcule os limites a seguir: .
Conhecendo os limites fundamentais e , calcule os limites a seguir: .
Conhecendo os limites fundamentais e , calcule os limites a seguir: .