Conhecendo os limites fundamentais
e
, calcule os limites a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites que envolvem funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que acabam dando uma forma indeterminada como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão. No numerador temos
e no denominador
. Então, realmente, temos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos usar outra técnica para calcular o limite.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma indeterminação do tipo
, uma ferramenta muito útil é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e, em seguida, calcular o limite da nova fração resultante.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
-
Derivada do numerador
: A derivada de é e a derivada de (uma constante) é 0. Então, a derivada total é . -
Derivada do denominador
: A derivada de é e a derivada de (uma constante) é 0. Então, a derivada total é .
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas na expressão do limite:
Substituindo
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre as seguintes propriedades de logaritmos:
.
Conhecendo os limites fundamentais
e
, calcule os limites a seguir:
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Conhecendo os limites fundamentais
e
, calcule os limites a seguir:
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Conhecendo os limites fundamentais
e
, calcule os limites a seguir:
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