Conhecendo os limites fundamentais lim x +infty(1+1x)^x=e e lim x 0 e^x-1x=1, calcule os limites a seguir: lim x 0 5^x-1x.

Passo 1

Vamos resumir o que temos: precisamos calcular o limite lim x 0 5^x-1x. Para isso, vamos usar conceitos de limites fundamentais e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Observamos que a expressão se parece com o limite fundamental lim x 0 e^x-1x=1, onde e é a base dos logaritmos naturais. Porém, aqui temos 5^x em vez de e^x.

Passo 3

Lembramos que podemos reescrever 5^x usando a fórmula a^x = e^x ln a. Então, 5^x = e^x ln 5.

Passo 4

Substituímos 5^x por e^x ln 5 na expressão original:
lim x 0 e^x ln 5 - 1x

Passo 5

Reconhecemos que essa nova expressão é similar ao limite fundamental que conhecemos. Se fizermos uma substituição y = x ln 5, então quando x 0, y 0. Assim, a expressão fica:
lim y 0 e^y - 1yln 5 = ln 5 cdot lim y 0 e^y - 1y

Passo 6

Sabemos que lim y 0 e^y - 1y = 1. Portanto:
ln 5 cdot 1 = ln 5

Resposta

O limite é ln 5.

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