Conhecendo os limites fundamentais lim x +infty(1+1x)^x=e e lim x 0 e^x-1x=1, calcule os limites a seguir: lim x 0 e^-2 x-1x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está ligado ao estudo de limites, especialmente usando limites fundamentais envolvendo a função exponencial. Vamos precisar usar o limite para facilitar nossa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma maneira que nos ajude a aplicar o limite conhecido. Sabemos que , mas isso não facilita muito. Melhor ainda, vamos considerar que pode ser visto como onde .

Passo 3

Agora, observamos que a nossa expressão fica lim x 0 e^k x - 1x = k cdot lim x 0 e^k x - 1k x = k cdot 1 = k com . Aí, lembramos do limite fundamental . Se a gente ajustar esse limite para o nosso caso, substituindo por , teremos:

Passo 4

Aplicando isso ao nosso problema, onde lim x 0 e^-2 x - 1x = -2 cdot 1 = -2 , temos:

Resposta

O limite é .

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