Sabendo que para quaisquer x, y em R valem sen^2(x) + cos^2(x) = 1, sen(x+y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x) e cos(x+y) = cos(x) cos(y) - sen(x) sen(y) mostre as identidades a seguir: sen(2 x) - sen(2 y) = 2 sen(x - y) cos(x + y).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a expressão é igual a . Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como a identidade pitagórica e as fórmulas de adição para seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do seno da soma de dois ângulos:
E a fórmula do seno da diferença:
Essas fórmulas vão nos ajudar a manipular as expressões que temos na questão.

Passo 3

Agora, vamos expressar e usando a fórmula do seno da soma, onde é a soma de x com x, e é a soma de y com y:

Passo 4

Subtraindo de , temos:
Podemos fatorar o 2 da expressão:

Passo 5

Observamos que a expressão dentro dos parênteses se parece com a fórmula do seno da diferença. Vamos rearranjar para se adequar à fórmula:
No entanto, para simplificar, reconhecemos que:
Isso se aplica diretamente à nossa expressão inicial.

Passo 6

Assim, substituindo de volta na nossa equação:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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