Sabendo que para quaisquer
valem
e
mostre as identidades a seguir:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a expressão
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como a identidade pitagórica
e as fórmulas de adição para seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do seno da soma de dois ângulos:
E a fórmula do seno da diferença:
Essas fórmulas vão nos ajudar a manipular as expressões que temos na questão.
Passo 3
Agora, vamos expressar
e
usando a fórmula do seno da soma, onde
é a soma de
com
, e
é a soma de
com
:
Passo 4
Subtraindo
de
, temos:
Podemos fatorar o 2 da expressão:
Passo 5
Observamos que a expressão dentro dos parênteses se parece com a fórmula do seno da diferença. Vamos rearranjar para se adequar à fórmula:
No entanto, para simplificar, reconhecemos que:
Isso se aplica diretamente à nossa expressão inicial.
Passo 6
Assim, substituindo de volta na nossa equação:
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Conhecendo os limites fundamentais
e
, calcule os limites a seguir:
.
Conhecendo os limites fundamentais
e
, calcule os limites a seguir:
.
Determine o domínio da função:
Calcule as integrais definidas abaixo.