Conhecendo a seguinte tabela:
-1 0 3
15 8 -1
determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pontos, usando a resolução do sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com três pontos , e e precisa encontrar um polinômio que passa por esses pontos. Isso se chama polinômio de interpolação. Para isso, vamos usar a ideia de montar um sistema de equações lineares para descobrir os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar. Como temos três pontos, podemos montar três equações substituindo os valores de e na equação do polinômio.

Passo 3

Vamos substituir o primeiro ponto na equação:
çã

Passo 4

Agora, substituímos o segundo ponto :
á

Passo 5

Por último, substituímos o terceiro ponto :
çã

Passo 6

Sabemos que . Vamos substituir esse valor na Equação 1 e na Equação 2:
Na Equação 1:
çã
Na Equação 2:
çã

Passo 7

Agora, vamos resolver as Equações 3 e 4. Da Equação 3, podemos expressar em termos de :
çã
Substituindo a Equação 5 na Equação 4:

Passo 8

Agora que temos , voltamos à Equação 5 para encontrar :

Passo 9

Com os valores de , e encontrados, podemos escrever o polinômio de interpolação:

Resposta

O polinômio de interpolação é .

Exercícios relacionados

Verifique que é solução de .
Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
(a)
Considere a tabela:
1 3 4 5
0 6 24 60
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de )