Conhecendo a seguinte tabela:
|
-1 | 0 | 3 |
---|---|---|---|
|
15 | 8 | -1 |
determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pontos, usando a resolução do sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com três pontos
,
e
e precisa encontrar um polinômio que passa por esses pontos. Isso se chama polinômio de interpolação. Para isso, vamos usar a ideia de montar um sistema de equações lineares para descobrir os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar. Como temos três pontos, podemos montar três equações substituindo os valores de
e
na equação do polinômio.
Passo 3
Vamos substituir o primeiro ponto
na equação:
Passo 4
Agora, substituímos o segundo ponto
:
Passo 5
Por último, substituímos o terceiro ponto
:
Passo 6
Sabemos que
. Vamos substituir esse valor na Equação 1 e na Equação 2:
Na Equação 1:
Na Equação 2:
Passo 7
Agora, vamos resolver as Equações 3 e 4. Da Equação 3, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo a Equação 5 na Equação 4:
Passo 8
Agora que temos
, voltamos à Equação 5 para encontrar
:
Passo 9
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos escrever o polinômio de interpolação:
Resposta
O polinômio de interpolação é
.
Exercícios relacionados
Verifique que
é solução de
.
Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
(a)
(a)
Considere a tabela:
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1 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 6 | 24 | 60 |
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
Dada a função tabelada:
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0 | 1 | 1.5 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
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1.0 | 0.5 | 0.4 | 0.286 | 0.25 |
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de
)