Dada a função tabelada:
|
0 | 1 | 1.5 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
|
1.0 | 0.5 | 0.4 | 0.286 | 0.25 |
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando a fórmula de Newton. A gente tem uma tabela com alguns pontos de uma função e precisa encontrar um polinômio de segundo grau (quadrático) que passe pelos três pontos mais próximos de
. Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Newton e calcular as diferenças divididas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os três pontos mais próximos de
na tabela fornecida. Temos os pontos:
-
com -
com -
com
Esses são os três pontos mais próximos de
.
Passo 3
Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A fórmula de Newton para interpolação polinomial é dada por:
Onde
e
são as diferenças divididas.
Passo 4
Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo.
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Agora, calculamos a diferença dividida de segunda ordem
:
Passo 5
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de interpolação quadrática usando a fórmula de Newton sobre os três pontos mais próximos de
é:
Exercícios relacionados
Considere a tabela:
|
1 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 6 | 24 | 60 |
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
Conhecendo a seguinte tabela:
|
-1 | 0 | 3 |
---|---|---|---|
|
15 | 8 | -1 |
determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pontos, usando a resolução do sistema linear.
Dada a função
e a tabela:
|
2.25 | 2.5 | 2.75 |
---|---|---|---|
|
6.930 | 8.726 | 10.87 |
(a) Calcular o polinômio de interpolação sobre 3 pontos usando a forma de Newton.
Mostre que a interpolação de um polinômio de grau
sobre
pontos,
, é exata. (Dica: use a fórmula para o erro de interpolação).