Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando a fórmula de Newton. A gente tem uma tabela com alguns pontos de uma função e precisa encontrar um polinômio de segundo grau (quadrático) que passe pelos três pontos mais próximos de . Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Newton e calcular as diferenças divididas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três pontos mais próximos de na tabela fornecida. Temos os pontos:
  • com
  • com
  • com
Esses são os três pontos mais próximos de .

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A fórmula de Newton para interpolação polinomial é dada por:
Onde e são as diferenças divididas.

Passo 4

Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo.
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Agora, calculamos a diferença dividida de segunda ordem :

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de interpolação quadrática usando a fórmula de Newton sobre os três pontos mais próximos de é:

Exercícios relacionados

Considere a tabela:
1 3 4 5
0 6 24 60
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
Conhecendo a seguinte tabela:
-1 0 3
15 8 -1
determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pontos, usando a resolução do sistema linear.
Dada a função e a tabela:
2.25 2.5 2.75
6.930 8.726 10.87
(a) Calcular o polinômio de interpolação sobre 3 pontos usando a forma de Newton.
Mostre que a interpolação de um polinômio de grau sobre pontos, , é exata. (Dica: use a fórmula para o erro de interpolação).