Dada a função tabelada:
x 0 1 1.5 2.5 3.0
f(x) 1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de x = 0.5 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação polinomial usando a fórmula de Newton. A gente tem uma tabela com alguns pontos de uma função e precisa encontrar um polinômio de segundo grau (quadrático) que passe pelos três pontos mais próximos de . Para isso, vamos precisar entender como funciona a interpolação de Newton e calcular as diferenças divididas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os três pontos mais próximos de na tabela fornecida. Temos os pontos:
  • com
  • com
  • com
Esses são os três pontos mais próximos de .

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A fórmula de Newton para interpolação polinomial é dada por:
Onde e são as diferenças divididas.

Passo 4

Vamos calcular as diferenças divididas passo a passo.
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Agora, calculamos a diferença dividida de segunda ordem :

Passo 5

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de interpolação quadrática usando a fórmula de Newton sobre os três pontos mais próximos de é:

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