Verifique que y=sumn=0^+infty (-1)^n2^2 n(n!) 2 x^2 n é solução de x y^prime prime+y^prime+x y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função resolve a equação diferencial . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e equações diferenciais. Para resolver, a gente vai precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de e substituí-las na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de y = 2 sumn=0^+infty (-1)^n4^n cdot n! cdot x^2n :
Isso ajuda a visualizar melhor os termos da série e facilita os cálculos das derivadas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de y' = 2 sumn=0^+infty (-1)^n4^n cdot n! cdot ddx( x^2n ) = 2 sumn=0^+infty (-1)^n4^n cdot n! cdot 2n x^2n-1 , que é y' = 4 sumn=0^+infty (-1)^n cdot n4^n cdot n! cdot x^2n-1 = 4 sumn=0^+infty (-1)^n4^n cdot (n-1)! cdot x^2n-1 :
y' = 4 sumn=1^+infty (-1)^n4^n cdot (n-1)! cdot x^2n-1
Simplificando:
Observação: Para , o termo é zero, então podemos começar a soma a partir de :

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de y'' = 4 sumn=1^+infty (-1)^n4^n cdot (n-1)! cdot ddx( x^2n-1 ) = 4 sumn=1^+infty (-1)^n4^n cdot (n-1)! cdot (2n-1) x^2n-2 , que é y'' = 4 sumn=1^+infty (-1)^n (2n - 1)4^n cdot (n-1)! cdot x^2n-2 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir x cdot y'' + y' + x cdot y = 0 , x cdot [ 4 sumn=1^+infty (-1)^n (2n - 1)4^n cdot (n-1)! cdot x^2n-2 ] + [ 4 sumn=1^+infty (-1)^n4^n cdot (n-1)! cdot x^2n-1 ] + x cdot [ 2 sumn=0^+infty (-1)^n4^n cdot n! cdot x^2n ] = 0 e 4 sumn=1^+infty (-1)^n (2n - 1)4^n cdot (n-1)! cdot x^2n-1 na equação diferencial 4 sumn=1^+infty (-1)^n4^n cdot (n-1)! cdot x^2n-1 :
2 sumn=0^+infty (-1)^n4^n cdot n! cdot x^2n+1
Substituindo:
4 sumn=1^+infty (-1)^n (2n - 1)4^n cdot (n-1)! x^2n-1 + 4 sumn=1^+infty (-1)^n4^n cdot (n-1)! x^2n-1 + 2 sumn=0^+infty (-1)^n4^n cdot n! x^2n+1 = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. 4 sumn=1^+infty (-1)^n (2n - 1 + 1)4^n cdot (n-1)! x^2n-1 = 4 sumn=1^+infty (-1)^n 2n4^n cdot (n-1)! x^2n-1 :
4 cdot 2 sumn=1^+infty (-1)^n n4^n cdot (n-1)! x^2n-1 = 8 sumn=1^+infty (-1)^n n4^n cdot (n-1)! x^2n-1
  1. 2 summ=1^+infty (-1)^m-14^m-1 cdot (m-1)! x^2m-1 :
2 cdot 4 summ=1^+infty (-1)^m-14^m cdot (m-1)! x^2m-1 = 8 summ=1^+infty (-1)^m-14^m cdot (m-1)! x^2m-1
  1. 8 sumn=1^+infty (-1)^n n4^n cdot (n-1)! x^2n-1 + 8 sumn=1^+infty (-1)^n-14^n cdot (n-1)! x^2n-1 = 0 :
8 sumn=1^+infty (-1)^n n + (-1)^n-14^n cdot (n-1)! x^2n-1 = 0
Agora, somamos tudo:
8 sumn=1^+infty (-1)^n-1 (-n + 1)4^n cdot (n-1)! x^2n-1 = 0
Vamos observar que os dois primeiros somatórios podem ser combinados:
8 sumn=1^+infty (-1)^n-1 (1 - n)4^n cdot (n-1)! x^2n-1 = 0
Simplificando:
Agora, fazemos uma mudança de índice no terceiro somatório, substituindo :
Simplificando:
Agora, juntando tudo:
Fatorando:
Observando que , podemos reescrever:
Simplificando:
Percebe-se que cada termo desse somatório anula o outro, resultando em zero.

Resposta

Assim, mostramos que é satisfeita, confirmando que é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.

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