Verifique que
é solução de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a função
resolve a equação diferencial
. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e equações diferenciais. Para resolver, a gente vai precisar calcular as primeiras e segundas derivadas de
e substituí-las na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
:
Isso ajuda a visualizar melhor os termos da série e facilita os cálculos das derivadas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
, que é
:
Simplificando:
Observação: Para
, o termo é zero, então podemos começar a soma a partir de
:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada de
, que é
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial
:
Substituindo:
Vamos simplificar cada termo:
-
:
-
:
-
:
Agora, somamos tudo:
Vamos observar que os dois primeiros somatórios podem ser combinados:
Simplificando:
Agora, fazemos uma mudança de índice no terceiro somatório, substituindo
:
Simplificando:
Agora, juntando tudo:
Fatorando:
Observando que
, podemos reescrever:
Simplificando:
Percebe-se que cada termo desse somatório anula o outro, resultando em zero.
Resposta
Assim, mostramos que
é satisfeita, confirmando que
é, de fato, uma solução da equação diferencial dada.