Considere a tabela:
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1 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
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0 | 6 | 24 | 60 |
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de
e
, e o objetivo aqui é encontrar o polinômio de interpolação na forma de Lagrange que passa por todos esses pontos. Pra isso, vamos precisar usar a fórmula do polinômio de Lagrange e entender como construir cada parte dele com os pontos que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de interpolação de Lagrange. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados e é construído usando os polinômios base de Lagrange. A fórmula geral para o polinômio
é:
Onde
é o polinômio base de Lagrange definido por:
Nesse caso, temos 4 pontos, então
.
Passo 3
Vamos calcular cada polinômio base
para os pontos dados:
- Para
(ponto ):
- Para
(ponto ):
- Para
(ponto ):
- Para
(ponto ):
Passo 4
Agora, vamos montar o polinômio de interpolação
somando cada
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Agora, somamos todos os termos:
Se quisermos, podemos expandir esse polinômio para uma forma mais simplificada, mas já temos o polinômio de interpolação na forma de Lagrange.
Resposta
O polinômio de interpolação na forma de Lagrange que passa pelos pontos dados é:
Exercícios relacionados
Conhecendo a seguinte tabela:
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-1 | 0 | 3 |
---|---|---|---|
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15 | 8 | -1 |
determinar o polinômio de interpolação para a função definida por este conjunto de pontos, usando a resolução do sistema linear.
Verifique que
é solução de
.
Dada a função tabelada:
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0 | 1 | 1.5 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
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1.0 | 0.5 | 0.4 | 0.286 | 0.25 |
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de
)
Dada a função
e a tabela:
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2.25 | 2.5 | 2.75 |
---|---|---|---|
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6.930 | 8.726 | 10.87 |
(a) Calcular o polinômio de interpolação sobre 3 pontos usando a forma de Newton.