Considere a tabela:
x 1 3 4 5
f(x) 0 6 24 60
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com alguns valores de e , e o objetivo aqui é encontrar o polinômio de interpolação na forma de Lagrange que passa por todos esses pontos. Pra isso, vamos precisar usar a fórmula do polinômio de Lagrange e entender como construir cada parte dele com os pontos que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de interpolação de Lagrange. É um polinômio que passa exatamente por todos os pontos dados e é construído usando os polinômios base de Lagrange. A fórmula geral para o polinômio é:
Onde é o polinômio base de Lagrange definido por:
Nesse caso, temos 4 pontos, então .

Passo 3

Vamos calcular cada polinômio base para os pontos dados:
  1. Para (ponto ):
  1. Para (ponto ):
  1. Para (ponto ):
  1. Para (ponto ):

Passo 4

Agora, vamos montar o polinômio de interpolação somando cada :
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:
Agora, somamos todos os termos:
Se quisermos, podemos expandir esse polinômio para uma forma mais simplificada, mas já temos o polinômio de interpolação na forma de Lagrange.

Resposta

O polinômio de interpolação na forma de Lagrange que passa pelos pontos dados é:

Exercícios relacionados