O conhecimento sobre funções é de extrema importância na matemática e nas ciências, pois, frequentemente, quantidades são modeladas por meio de funções.
Em relação ao conhecimento sobre funções, analise as afirmativas a seguir.
I. A imagem da função f(x, y) = sen(x + y) + 2 é o intervalo [1, 3]
II. O domínio da função g(x, y) = (x^4 - y^4) / (x^2 + y^2) é o conjunto I R^2
III. O domínio da função h(x, y) = e^(x + y) é o conjunto I R^2
IV. A imagem da função h(x, y) = e^(x + y) é o conjunto I R^2.
Está correto o que se afirma em:
O a.lle lll, apenas
b. I, Il e lil, apenas
c.le lill, apenas
O d.le ll, apenas
O. e. I, apenas

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício sobre funções! A gente vai verificar quais das afirmativas I, II, III e IV estão corretas. Para isso, vamos precisar entender conceitos como domínio e imagem de uma função. Bora lá!

Passo 2

Afirmativa I: A imagem da função é o intervalo .
Vamos entender:
  • A função seno, , sempre varia entre e .
  • Então, também varia entre e .
  • Se somarmos 2, a função vai variar entre e .
Conclusão: A imagem é realmente . Afirmativa I está correta.

Passo 3

Afirmativa II: O domínio da função é o conjunto .
Vamos analisar o domínio:
  • O domínio de uma função racional é onde o denominador não é zero.
  • Aqui, o denominador é .
  • somente quando e .
  • Portanto, o domínio é menos o ponto .
Conclusão: O domínio não é todo , já que excluímos . Afirmativa II está incorreta.

Passo 4

Afirmativa III: O domínio da função é o conjunto .
Vamos verificar:
  • A função exponencial está definida para todos os números reais e .
  • Não há restrições no domínio.
Conclusão: O domínio realmente é todo . Afirmativa III está correta.

Passo 5

Afirmativa IV: A imagem da função é o conjunto .
Vamos entender:
  • A função exponencial sempre resulta em números positivos.
  • Portanto, a imagem é , ou seja, todos os números reais positivos.
  • Não inclui números negativos nem zero, então não é .
Conclusão: A imagem não é todo . Afirmativa IV está incorreta.

Passo 6

Agora, vamos resumir quais afirmativas estão corretas:
  • I: Correta
  • II: Incorreta
  • III: Correta
  • IV: Incorreta
Portanto, as afirmativas corretas são I e III.

Resposta

O correto é a opção c. I, III, apenas.

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