Funçőes aparecem com frequência modelando fenômenos nas ciências; portanto, o seu entendimento é fundamental para o uso correto, a fim de conseguir tirar conclusões sobre os fenômenos em estudo. Sabe-se que toda função é composta por um domínio, um contradomínio e uma regra de associação.
Com base nas informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale
para
Verdadeira(s) e F para
Falsa(s).
- ( ) O domínio da função
é o conjunto
.
II. ( ) A imagem da função
é o conjunto
.
III. ( ) A função
pode ser reescrita como
.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Oa.v-v-v
Ob.V-F-F
C…V-F-V
O d.F-V.F
O e.F-F-V
Com base nas informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale
II. ( ) A imagem da função
III. ( ) A função
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Oa.v-v-v
Ob.V-F-F
C…V-F-V
O d.F-V.F
O e.F-F-V
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a questão que envolve funções, mais especificamente sobre o domínio, a imagem e a regra de associação de uma função. Precisamos verificar se as afirmativas sobre a função
são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Afirmação I: “O domínio da função
é o conjunto
.”
Vamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida.
Para a função
estar definida:
-
O argumento do logaritmo precisa ser positivo, ou seja:
-
O denominador
nunca é zero, pois é a raiz quadrada de uma soma de quadrados. -
Portanto, a condição que precisamos é que
.
Assim, o domínio é
e
pode ser qualquer número real. Isso corresponde ao conjunto
.
Conclusão: A afirmação I é Verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: “A imagem da função
é o conjunto
.”
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída possíveis.
Vamos analisar a expressão dentro do logaritmo:
Sabemos que:
-
(do domínio). - O denominador
é sempre maior ou igual a , já que é positivo ou zero.
Portanto:
Aplicando o logaritmo natural
nessa expressão:
- Quando
, . - Quando
se aproxima de 0, tende a .
Logo, a imagem da função é
, e não
.
Conclusão: A afirmação II é Falsa.
Passo 4
Afirmação III: “A função
pode ser reescrita como
.”
Vamos usar as propriedades dos logaritmos para reescrever a função:
Sabendo que
, temos:
Portanto, a reescrita está correta.
Conclusão: A afirmação III é Verdadeira.
Resposta
C. V-F-V