Funçőes aparecem com frequência modelando fenômenos nas ciências; portanto, o seu entendimento é fundamental para o uso correto, a fim de conseguir tirar conclusões sobre os fenômenos em estudo. Sabe-se que toda função é composta por um domínio, um contradomínio e uma regra de associação.
Com base nas informações apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale vee para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
  1. ( ) O domínio da função f(x, y) = ln(x / raiz(x^2 + 3y^2)) é o conjunto D = ]0, ∞[ × R.
    II. ( ) A imagem da função f(x, y) = ln(x / raiz(x^2 + 3y^2)) é o conjunto I = ]0, ∞[.
    III. ( ) A função f(x, y) = ln(x / raiz(x^2 + 3y^2)) pode ser reescrita como f(x, y) = ln(x) - 1/2 ln(x^2 + 3y^2).
    Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
    Oa.v-v-v
    Ob.V-F-F
    C…V-F-V
    O d.F-V.F
    O e.F-F-V

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a questão que envolve funções, mais especificamente sobre o domínio, a imagem e a regra de associação de uma função. Precisamos verificar se as afirmativas sobre a função são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Afirmação I: “O domínio da função é o conjunto .”
Vamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida.
Para a função estar definida:
  1. O argumento do logaritmo precisa ser positivo, ou seja:
  2. O denominador nunca é zero, pois é a raiz quadrada de uma soma de quadrados.
  3. Portanto, a condição que precisamos é que .
Assim, o domínio é e pode ser qualquer número real. Isso corresponde ao conjunto .
Conclusão: A afirmação I é Verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: “A imagem da função é o conjunto .”
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores de saída possíveis.
Vamos analisar a expressão dentro do logaritmo:
Sabemos que:
  • (do domínio).
  • O denominador é sempre maior ou igual a , já que é positivo ou zero.
Portanto:
Aplicando o logaritmo natural nessa expressão:
  • Quando , .
  • Quando se aproxima de 0, tende a .
Logo, a imagem da função é , e não .
Conclusão: A afirmação II é Falsa.

Passo 4

Afirmação III: “A função pode ser reescrita como .”
Vamos usar as propriedades dos logaritmos para reescrever a função:
Sabendo que , temos:
Portanto, a reescrita está correta.
Conclusão: A afirmação III é Verdadeira.

Resposta

C. V-F-V

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