A cônica obtida da interseç̧ão da quádrica -x^2+y^2-z^2=1 com o plano pi: y-z-1=0, é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir que tipo de cônica resulta da interseção da superfície quadrática com o plano . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a interseção de superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa intersecar uma superfície quadrática com um plano. Quando fazemos isso, o resultado é uma curva, que pode ser uma cônica como círculo, elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 3

Para descobrir qual cônica obtemos, vamos substituir a equação do plano na equação da superfície quadrática. O plano é y = z + 1 , então podemos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos - x^2 + (z + 1)^2 - z^2 = 1 na equação da superfície quadrática:

Passo 5

Vamos expandir (z + 1)^2 = z^2 + 2z + 1 :
- x^2 + z^2 + 2z + 1 - z^2 = 1
Substituindo isso na equação:

Passo 6

Simplificando a equação:
- x^2 + 2z + 1 = 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
- x^2 + 2z = 0

Passo 7

Resolvendo para 2z = x^2 implies z = x^22 :

Passo 8

Observamos que a equação representa uma parábola no espaço. Isso porque temos uma relação quadrática entre e , mantendo ligado a pelo plano .

Resposta

A cônica obtida é uma parábola.

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