Identificar e descrever as quádricas de equações dadas. x^2+4 y^2+8 x-8 y-4 z+28=0;

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem uma equação que representa uma quádica, que são superfícies como elipses, hipérboles, esferas, etc. A equação que vamos analisar é . Para resolver isso, vamos precisar completar os quadrados nos termos de e e entender como isso define a forma da quádica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação para facilitar o trabalho. Agrupamos os termos de x^2 + 8x + 4y^2 - 8y - 4z + 28 = 0 , e deixamos o de lado por enquanto:
Aqui, queremos completar os quadrados para e para transformar a equação em uma forma mais reconhecível.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para x^2 + 8x + 16 - 16 . Pegamos os termos . Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :
Isso fica .

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para 4(y^2 - 2y) . Temos 4(y^2 - 2y + 1 - 1) = 4((y - 1)^2 - 1) = 4(y - 1)^2 - 4 . Primeiro, fatoramos o 4:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Substituindo os quadrados completados de volta na equação original:
(x + 4)^2 - 16 + 4(y - 1)^2 - 4 - 4z + 28 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 - 4z + 8 = 0
Vamos reorganizar para isolar o termo de -4z = -(x + 4)^2 - 4(y - 1)^2 - 8 :
4z = (x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 + 8
Multiplicando ambos os lados por z = (x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2 :
Dividindo tudo por 4:

Passo 6

Agora, olhando a forma final da equação:
z = (x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2
Essa é a equação de uma paraboloide elíptica, que é uma superfície em forma de “tigela” que se abre na direção do eixo . Os termos e mostram que o centro da superfície está deslocado para .

Resposta

A quádica dada é um paraboloide elíptico com centro em , abrindo-se na direção positiva do eixo .

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