Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem uma equação que representa uma quádica, que são superfícies como elipses, hipérboles, esferas, etc. A equação que vamos analisar é
. Para resolver isso, vamos precisar completar os quadrados nos termos de
e
e entender como isso define a forma da quádica.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação para facilitar o trabalho. Agrupamos os termos de
,
e deixamos o
de lado por enquanto:
Aqui, queremos completar os quadrados para
e
para transformar a equação em uma forma mais reconhecível.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para
. Pegamos os termos
. Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos
:
Isso fica
.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Temos
. Primeiro, fatoramos o 4:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos
:
Passo 5
Substituindo os quadrados completados de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Vamos reorganizar para isolar o termo de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo tudo por 4:
Passo 6
Agora, olhando a forma final da equação:
Essa é a equação de uma paraboloide elíptica, que é uma superfície em forma de “tigela” que se abre na direção do eixo
. Os termos
e
mostram que o centro da superfície está deslocado para
.
Resposta
A quádica dada é um paraboloide elíptico com centro em
, abrindo-se na direção positiva do eixo
.