São listados nos itens abaixo conjuntos
munidos de operações de soma vetorial e multiplicação escalar. Determine quais deles tem essas operações bem definidas para todos os seus elementos (no sentido de definirem elementos de
), e quais destes satisfazem os axiomas de um espaço vetorial (real). Justifique por que os restantes não são espaços vetoriais. Para o caso f.)
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
com as operações normais de soma vetorial e multiplicação escalar. Nosso objetivo é ver se essas operações estão bem definidas para todos os elementos de
e se
satisfaz os axiomas de um espaço vetorial real. Isso envolve entender conceitos de álgebra linear, como fechamento das operações e os axiomas que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a soma vetorial está bem definida em
. Isso significa que, se pegarmos dois vetores em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
em
. Como
e
, a soma
terá
, portanto,
também está em
. Assim, a soma vetorial está bem definida.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a multiplicação escalar está bem definida em
. Isso significa que, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Aqui é onde encontramos um problema. Se
for negativo e
, então
, o que violaria a condição
. Por exemplo, se
e
, então
, que não está em
porque
.
Passo 4
Como a multiplicação escalar não está bem definida para todos os elementos de
(ou seja, nem todo vetor resultante permanece em
), concluímos que
não satisfaz todos os requisitos para ser um espaço vetorial. Mesmo que a soma vetorial esteja funcionando direitinho, a falta de fechamento sob multiplicação escalar já impede
de ser um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com as operações usuais de soma vetorial e multiplicação escalar não é um espaço vetorial, porque a multiplicação escalar pode resultar em vetores fora de
, violando o fechamento necessário.