Verifique se Z times Z é grupo em relação a cada uma das seguintes leis de composiçöo:
a) (a, b) *(c, d)=(a+c, b+d)
b) (a, b) De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto Z times Z é um grupo sob duas regras de composição diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de grupos, como fechamento, associatividade, elemento identidade e inversos. Precisaremos entender como essas propriedades se aplicam às operações dadas.

Passo 2

Parte a) A primeira operação é (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d).
Primeiro, vamos verificar se essa operação satisfaz as quatro propriedades de um grupo:
  1. Fechamento: Se somarmos dois pares de inteiros, o resultado também será um par de inteiros. Por exemplo, (2, 3) * (4, 5) = (6, 8), que ainda está em Z times Z. Então, o fechamento está ok.
  2. Associatividade: A soma de inteiros é associativa. Ou seja, [(a, b) * (c, d)] * (e, f) = (a + c + e, b + d + f) e (a, b) * [(c, d) * (e, f)] = (a + c + e, b + d + f). Os resultados são iguais, então a associatividade também está ok.
  3. Elemento identidade: Precisamos de um elemento que, quando somado a qualquer par, não muda o par. Esse elemento é (0, 0) porque (a, b) * (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).
  4. Inversos: Cada elemento precisa ter um inverso que, quando somado, dá o elemento identidade. O inverso de (a, b) é (-a, -b) porque (a, b) * (-a, -b) = (0, 0).
Como todas as propriedades estão satisfeitas, Z times Z é um grupo sob essa operação.

Passo 3

Parte b) Agora, a segunda operação é (a, b) De.
Vamos verificar as mesmas propriedades:
  1. Fechamento: Multiplicar dois pares de inteiros resulta em outro par de inteiros. Por exemplo, (2, 3) De, que está em Z times Z. Fechamento está ok.
  2. Associatividade: A multiplicação de inteiros é associativa. Ou seja, [(a, b) De e (a, b) De. Os resultados são iguais, então a associatividade está ok.
  3. Elemento identidade: Precisamos de um par que, quando multiplicado por qualquer outro par, não muda o par. Esse elemento é (1, 1) porque (a, b) De.
  4. Inversos: Cada elemento precisa ter um inverso que, quando multiplicado, dá o elemento identidade. O inverso de (a, b) seria (1/a, 1/b). Porém, aqui está o problema: em Z, apenas 1 e -1 têm inversos multiplicativos que também estão em Z. Por exemplo, (2, 3) não tem um inverso em Z times Z porque 1/2 e 1/3 não são inteiros.
Como nem todos os elementos têm inversos, Z times Z não é um grupo sob essa operação.

Resposta

a) Sim, Z times Z é um grupo sob a operação de soma.
b) Não, Z times Z não é um grupo sob a operação de multiplicação.

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