Verifique se
é grupo em relação a cada uma das seguintes leis de composiçöo:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um grupo sob duas regras de composição diferentes. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra de grupos, como fechamento, associatividade, elemento identidade e inversos. Precisaremos entender como essas propriedades se aplicam às operações dadas.
Passo 2
Parte a) A primeira operação é
.
Primeiro, vamos verificar se essa operação satisfaz as quatro propriedades de um grupo:
-
Fechamento: Se somarmos dois pares de inteiros, o resultado também será um par de inteiros. Por exemplo,
, que ainda está em . Então, o fechamento está ok. -
Associatividade: A soma de inteiros é associativa. Ou seja,
e . Os resultados são iguais, então a associatividade também está ok. -
Elemento identidade: Precisamos de um elemento que, quando somado a qualquer par, não muda o par. Esse elemento é
porque . -
Inversos: Cada elemento precisa ter um inverso que, quando somado, dá o elemento identidade. O inverso de
é porque .
Como todas as propriedades estão satisfeitas,
é um grupo sob essa operação.
Passo 3
Parte b) Agora, a segunda operação é
.
Vamos verificar as mesmas propriedades:
-
Fechamento: Multiplicar dois pares de inteiros resulta em outro par de inteiros. Por exemplo,
, que está em . Fechamento está ok. -
Associatividade: A multiplicação de inteiros é associativa. Ou seja,
e . Os resultados são iguais, então a associatividade está ok. -
Elemento identidade: Precisamos de um par que, quando multiplicado por qualquer outro par, não muda o par. Esse elemento é
porque . -
Inversos: Cada elemento precisa ter um inverso que, quando multiplicado, dá o elemento identidade. O inverso de
seria . Porém, aqui está o problema: em , apenas e têm inversos multiplicativos que também estão em . Por exemplo, não tem um inverso em porque e não são inteiros.
Como nem todos os elementos têm inversos,
não é um grupo sob essa operação.
Resposta
a) Sim,
é um grupo sob a operação de soma.
b) Não, não é um grupo sob a operação de multiplicação.
b) Não,