Identificar e descrever as quádricas de equações dadas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar e descrever a quádricas da seguinte equação:
Para fazer isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado para transformar a equação em uma forma mais fácil de identificar que tipo de quádricas estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Para facilitar, vamos fatorar os coeficientes das variáveis ao quadrado:
Para o
:
Completa o quadrado dentro do parênteses:
Mas lembre que adicionamos 4 dentro do parênteses, então precisamos ajustar:
Para o
:
Completa o quadrado:
Ajustando:
Para o
:
Completa o quadrado:
Ajustando:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na equação original:
Agora, somamos os termos constantes:
Então a equação fica:
Adicionando 6 em ambos os lados:
Dividindo tudo por 6 para simplificar:
Passo 5
Agora que a equação está na forma padrão:
Podemos identificar que essa é a equação de um elipsoide, que é uma quádricas que representa uma superfície tridimensional ovalada.
Resposta
A equação dada representa um elipsoide com centro no ponto
e eixos alongados nos eixos
,
e
, com semi-eixos de comprimentos
,
e
respectivamente.