Identificar e descrever as quádricas de equações dadas. 6 x^2+3 y^2+2 z^2+24 x-6 y-12 z+39=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar e descrever a quádricas da seguinte equação:
6 x^2+3 y^2+2 z^2+24 x-6 y-12 z+39=0
Para fazer isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado para transformar a equação em uma forma mais fácil de identificar que tipo de quádricas estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos semelhantes:
6x^2 + 24x + 3y^2 - 6y + 2z^2 - 12z + 39 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada variável. Para facilitar, vamos fatorar os coeficientes das variáveis ao quadrado:
Para o 6x^2 + 24x = 6(x^2 + 4x):
x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Completa o quadrado dentro do parênteses:
6(x^2 + 4x + 4) - 24 = 6(x + 2)^2 - 24
Mas lembre que adicionamos 4 dentro do parênteses, então precisamos ajustar:
3y^2 - 6y = 3(y^2 - 2y)
Para o y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2:
3(y^2 - 2y + 1) - 3 = 3(y - 1)^2 - 3
Completa o quadrado:
2z^2 - 12z = 2(z^2 - 6z)
Ajustando:
z^2 - 6z + 9 = (z - 3)^2
Para o 2(z^2 - 6z + 9) - 18 = 2(z - 3)^2 - 18:
Completa o quadrado:
Ajustando:

Passo 4

Substituindo tudo de volta na equação original:
6(x + 2)^2 - 24 + 3(y - 1)^2 - 3 + 2(z - 3)^2 - 18 + 39 = 0
Agora, somamos os termos constantes:
-24 - 3 - 18 + 39 = -6
Então a equação fica:
6(x + 2)^2 + 3(y - 1)^2 + 2(z - 3)^2 - 6 = 0
Adicionando 6 em ambos os lados:
6(x + 2)^2 + 3(y - 1)^2 + 2(z - 3)^2 = 6
Dividindo tudo por 6 para simplificar:
(x + 2)^2 + (y - 1)^22 + (z - 3)^23 = 1

Passo 5

Agora que a equação está na forma padrão:
(x + 2)^21 + (y - 1)^22 + (z - 3)^23 = 1
Podemos identificar que essa é a equação de um elipsoide, que é uma quádricas que representa uma superfície tridimensional ovalada.

Resposta

A equação dada representa um elipsoide com centro no ponto e eixos alongados nos eixos , e , com semi-eixos de comprimentos , e respectivamente.

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