Conjecture o valor do limite:
lim (3 n^3-22 n^3+2)
Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o valor do limite da expressão quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais e entender como os termos de maior grau influenciam o resultado.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de terceiro grau ( ). Quando estamos calculando limites no infinito para razões de polinômios, os termos de maior grau são os que mais influenciam o comportamento da função. Então, vamos focar nesses termos.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador e do denominador por 3n^3 - 22n^3 + 2 = 3 - 2n^32 + 2n^3 , que é o termo de maior grau:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando limn to infty 3 - 2n^32 + 2n^3 = 3 - 02 + 0 = 32 tende ao infinito ( ). Os termos no numerador e no denominador vão se aproximar de zero, porque quanto maior o valor de , menor será o valor dessa fração.

Passo 5

Então, conjecturamos que o limite é . Mas precisamos verificar essa resposta usando a definição de limite para confirmar que está correto.

Passo 6

Vamos relembrar a definição de limite para sequências: dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença seja menor que .

Passo 7

Aplicando essa definição à nossa sequência | 3n^3 - 22n^3 + 2 - 32 | < varepsilon para todo n > N e ao conjecturado , queremos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que:

Passo 8

Vamos simplificar a diferença:
| 3n^3 - 22n^3 + 2 - 32 | = | (3n^3 - 2) cdot 2 - 3(2n^3 + 2)2(2n^3 + 2) | = | 6n^3 - 4 - 6n^3 - 64n^3 + 4 | = | -104n^3 + 4 | = 104n^3 + 4

Passo 9

Queremos que 104n^3 + 4 < varepsilon Rightarrow 4n^3 + 4 > 10varepsilon Rightarrow 4n^3 > 10varepsilon - 4 Rightarrow n^3 > 10/varepsilon - 44 . Vamos resolver essa desigualdade para encontrar :

Passo 10

Portanto, basta escolher N > raiz[3]10/varepsilon - 44 tal que:

Passo 11

Com esse , garantimos que para todo , a diferença será menor que , confirmando que o limite é realmente .

Resposta

O limite é .

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