Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o valor do limite da expressão quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais e entender como os termos de maior grau influenciam o resultado.
Passo 2
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de terceiro grau (). Quando estamos calculando limites no infinito para razões de polinômios, os termos de maior grau são os que mais influenciam o comportamento da função. Então, vamos focar nesses termos.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador e do denominador por , que é o termo de maior grau:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito (). Os termos no numerador e no denominador vão se aproximar de zero, porque quanto maior o valor de , menor será o valor dessa fração.
Passo 5
Então, conjecturamos que o limite é . Mas precisamos verificar essa resposta usando a definição de limite para confirmar que está correto.
Passo 6
Vamos relembrar a definição de limite para sequências: dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença seja menor que .
Passo 7
Aplicando essa definição à nossa sequência e ao conjecturado , queremos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que:
Passo 8
Vamos simplificar a diferença:
Passo 9
Queremos que . Vamos resolver essa desigualdade para encontrar :
Passo 10
Portanto, basta escolher tal que:
Passo 11
Com esse , garantimos que para todo , a diferença será menor que , confirmando que o limite é realmente .