Conjecture o valor do limite:
Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o valor do limite da expressão quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais e entender como os termos de maior grau influenciam o resultado.

Passo 2

Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de terceiro grau ( ). Quando estamos calculando limites no infinito para razões de polinômios, os termos de maior grau são os que mais influenciam o comportamento da função. Então, vamos focar nesses termos.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador e do denominador por , que é o termo de maior grau:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito ( ). Os termos no numerador e no denominador vão se aproximar de zero, porque quanto maior o valor de , menor será o valor dessa fração.

Passo 5

Então, conjecturamos que o limite é . Mas precisamos verificar essa resposta usando a definição de limite para confirmar que está correto.

Passo 6

Vamos relembrar a definição de limite para sequências: dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença seja menor que .

Passo 7

Aplicando essa definição à nossa sequência e ao conjecturado , queremos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um tal que:

Passo 8

Vamos simplificar a diferença:

Passo 9

Queremos que . Vamos resolver essa desigualdade para encontrar :

Passo 10

Portanto, basta escolher tal que:

Passo 11

Com esse , garantimos que para todo , a diferença será menor que , confirmando que o limite é realmente .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Prove a desigualdade triangular:
Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(b) cilíndricas.
Suponha que onde é uma sequência de termos positivos, mostre, por definição, que .
Para quaisquer , prove que .