Prove a desigualdade triangular:

Passo 1

Beleza, vamos provar a Desigualdade Triangular, que diz que para quaisquer números reais e , vale que . Para isso, vamos precisar entender o que é o valor absoluto e algumas propriedades básicas de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número é a distância desse número até zero na reta numérica, ou seja:
Isso significa que o valor absoluto sempre será um número não negativo.

Passo 3

Agora, vamos considerar os diferentes casos possíveis para e , já que eles podem ser positivos ou negativos. Vamos analisar cada situação para verificar se a desigualdade sempre se mantém verdadeira.

Passo 4

Caso 1: Ambos e são positivos.
Se e , então:
Portanto, , o que satisfaz a desigualdade.

Passo 5

Caso 2: Ambos e são negativos.
Se e , então:
Novamente, , então a desigualdade é satisfeita.

Passo 6

Caso 3: é positivo e é negativo (ou vice-versa).
Sem perda de generalidade, vamos supor que e . Temos duas subpossibilidades:
  1. Se :
    Aqui, , então:
    Como , , então .
  2. Se :
    Neste caso, , então:
    Como , , novamente temos .

Resposta

Assim, em todos os casos possíveis, a desigualdade triangular é sempre verdadeira para quaisquer números reais e .

Exercícios relacionados

Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(b) cilíndricas.
Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(a) esféricas.
Conjecture o valor do limite:
Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.
Suponha que onde é uma sequência de termos positivos, mostre, por definição, que .