Prove a desigualdade triangular:
Passo 1
Beleza, vamos provar a Desigualdade Triangular, que diz que para quaisquer números reais
e
, vale que
. Para isso, vamos precisar entender o que é o valor absoluto e algumas propriedades básicas de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de um número é a distância desse número até zero na reta numérica, ou seja:
Isso significa que o valor absoluto sempre será um número não negativo.
Passo 3
Agora, vamos considerar os diferentes casos possíveis para
e
, já que eles podem ser positivos ou negativos. Vamos analisar cada situação para verificar se a desigualdade
sempre se mantém verdadeira.
Passo 4
Caso 1: Ambos
e
são positivos.
Se
e
, então:
Portanto,
, o que satisfaz a desigualdade.
Passo 5
Caso 2: Ambos
e
são negativos.
Se
e
, então:
Novamente,
, então a desigualdade é satisfeita.
Passo 6
Caso 3:
é positivo e
é negativo (ou vice-versa).
Sem perda de generalidade, vamos supor que
e
. Temos duas subpossibilidades:
-
Se
: Aqui,, então: Como, , então . -
Se
: Neste caso,, então: Como, , novamente temos .
Resposta
Assim, em todos os casos possíveis, a desigualdade triangular
é sempre verdadeira para quaisquer números reais
e
.
Exercícios relacionados
Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
, com
e
. Escreva a integral
nas coordenadas:
(b) cilíndricas.
(b) cilíndricas.
Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
, com
e
. Escreva a integral
nas coordenadas:
(a) esféricas.
(a) esféricas.
Conjecture o valor do limite:
Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.
Suponha que
onde
é uma sequência de termos positivos, mostre, por definição, que
.