Suponha que
onde
é uma sequência de termos positivos, mostre, por definição, que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma sequência de números positivos
que converge para
. O que a gente precisa mostrar é, usando a definição de limite, que a sequência ao quadrado
também converge para
. Para isso, vamos usar a definição de limite de uma sequência e algumas propriedades básicas de números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que
se, para todo número
, existe um número
tal que para todo
, a diferença
. Isso significa que os termos da sequência ficam tão próximos de
quanto a gente quiser, a partir de certo ponto.
Passo 3
Agora, queremos provar que
. Para isso, vamos usar a definição de limite novamente, mas agora aplicada à sequência
. Precisamos mostrar que para todo
, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 4
Vamos manipular a expressão
para facilitar nossa análise:
Como
é positiva e converge para
, podemos supor que
está próxima de
, então
é aproximadamente
.
Passo 5
Vamos limitar
. Como
converge para
, existe um
tal que para todo
,
. Isso implica que
. Portanto:
Vamos chamar
. Assim,
para todo
.
Passo 6
Agora, queremos que
. Sabemos que
, então:
Isso implica que:
Como
, existe um
tal que para todo
,
.
Passo 7
Vamos escolher
. Assim, para todo
:
Isso confirma que
pela definição de limite.
Resposta
Portanto, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Conjecture o valor do limite:
Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.
Prove a desigualdade triangular:
Para quaisquer
, prove que
.
Prove que
.