Suponha que lim an=a onde (an) é uma sequência de termos positivos, mostre, por definição, que lim an^2=a^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma sequência de números positivos que converge para . O que a gente precisa mostrar é, usando a definição de limite, que a sequência ao quadrado também converge para . Para isso, vamos usar a definição de limite de uma sequência e algumas propriedades básicas de números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite de uma sequência. Dizemos que se, para todo número , existe um número tal que para todo , a diferença . Isso significa que os termos da sequência ficam tão próximos de quanto a gente quiser, a partir de certo ponto.

Passo 3

Agora, queremos provar que . Para isso, vamos usar a definição de limite novamente, mas agora aplicada à sequência . Precisamos mostrar que para todo , existe um tal que para todo , .

Passo 4

Vamos manipular a expressão |an^2 - a^2| = |an - a| cdot |an + a| para facilitar nossa análise:
Como é positiva e converge para , podemos supor que está próxima de , então é aproximadamente .

Passo 5

Vamos limitar |an + a| < a + 1 + a = 2a + 1 . Como converge para , existe um tal que para todo , . Isso implica que . Portanto:
Vamos chamar . Assim, para todo .

Passo 6

Agora, queremos que |an - a| cdot M < epsilon . Sabemos que |an - a| < epsilonM , então:
Isso implica que:
Como , existe um tal que para todo , .

Passo 7

Vamos escolher |an^2 - a^2| = |an - a| cdot |an + a| < epsilonM cdot M = epsilon . Assim, para todo :
Isso confirma que pela definição de limite.

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados