Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(b) cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido que é limitado por uma esfera por cima e por um cone por baixo, considerando apenas e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar transformar as equações dadas para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .
Passo 3
Vamos agora converter as superfícies que limitam o sólido para coordenadas cilíndricas.
Esfera: se torna .
Cone: se torna .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
: Como estamos considerando apenas e , varia de a .
: Para cada , varia de até onde as duas superfícies se encontram. Igualando na esfera :
Então, varia de a .
: Para cada , varia de (do cone) até (da esfera).
Passo 5
Agora, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas.