Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(b) cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido que é limitado por uma esfera por cima e por um cone por baixo, considerando apenas e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar transformar as equações dadas para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Vamos agora converter as superfícies que limitam o sólido para coordenadas cilíndricas.
  1. Esfera: se torna .
  2. Cone: se torna .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e .
  • : Como estamos considerando apenas e , varia de a .
  • : Para cada , varia de até onde as duas superfícies se encontram. Igualando na esfera :
Então, varia de a .
  • : Para cada , varia de (do cone) até (da esfera).

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Primeiro, substituímos e em termos de e :
Então, a função dentro da integral fica:

Passo 6

Montando a integral com os limites determinados:

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é:

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Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(a) esféricas.
Seja o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone . Escreva o volume de em termos de integral dupla nas seguintes coordenadas: (Não precisa resolver a integral!!)
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).
Prove a desigualdade triangular:
Conjecture o valor do limite:
Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.