Seja E o sólido limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2, com x >= 0 e y >= 0. Escreva a integral integral triplaE(x+y^2-z) d V nas coordenadas:
(b) cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido que é limitado por uma esfera por cima e por um cone por baixo, considerando apenas e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar transformar as equações dadas para coordenadas cilíndricas e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = rcostheta y = rsintheta z = z
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por .

Passo 3

Vamos agora converter as superfícies que limitam o sólido para coordenadas cilíndricas.
  1. Esfera: se torna .
  2. Cone: se torna .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para r^2 + r^2 = 4 implies 2r^2 = 4 implies r^2 = 2 implies r = raiz2 , e .
  • : Como estamos considerando apenas e , varia de a .
  • : Para cada , varia de até onde as duas superfícies se encontram. Igualando na esfera :
Então, varia de a .
  • : Para cada , varia de (do cone) até (da esfera).

Passo 5

Agora, vamos escrever a integral tripla x = rcostheta e y^2 = (rsintheta)^2 = r^2sin^2theta em coordenadas cilíndricas.
Primeiro, substituímos x + y^2 - z = rcostheta + r^2sin^2theta - z e em termos de e :
Então, a função dentro da integral fica:

Passo 6

Montando a integral com os limites determinados:
integral triplaE(x+y^2-z) dV = integral0^pi2 integral0^raiz2 integralr^raiz4 - r^2 ( rcostheta + r^2sin^2theta - z ) r, dz, dr, dtheta

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é:
integral0^pi2 integral0^raiz2 integralr^raiz4 - r^2 ( rcostheta + r^2sin^2theta - z ) r, dz, dr, dtheta

Exercícios relacionados