Para quaisquer x, y, z em R, prove que |x - z| <= |x - y| + |y - z|.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três números reais , e , e precisamos provar que a distância entre e é menor ou igual à soma das distâncias entre e e entre e . Isso está relacionado ao conceito de desigualdade triangular na matemática. Para resolver, vamos usar propriedades dos valores absolutos.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o que queremos provar:
Queremos mostrar que essa desigualdade é sempre verdadeira para quaisquer reais.

Passo 3

Sabemos que a desigualdade triangular para números reais afirma que a distância direta entre dois pontos é sempre menor ou igual à soma das distâncias passando por um terceiro ponto. Isso é exatamente o que estamos tentando provar aqui.

Passo 4

Para provar isso, vamos considerar as duas possíveis situações para os números reais , e : quando e quando os números não estão nessa ordem.

Passo 5

Sem perder generalidade, vamos assumir que os números estão em ordem crescente: . Nesse caso:

Passo 6

Substituindo na desigualdade que queremos provar:
Simplificando o lado direito:
Então temos:
Que é obviamente verdadeiro.

Passo 7

Agora, se os números não estiverem em ordem, a propriedade da desigualdade triangular ainda se aplica porque os valores absolutos consideram a distância independentemente da ordem dos números. Assim, a desigualdade é válida para quaisquer reais.

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer , vale que .

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