Para quaisquer
, prove que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três números reais
,
e
, e precisamos provar que a distância entre
e
é menor ou igual à soma das distâncias entre
e
e entre
e
. Isso está relacionado ao conceito de desigualdade triangular na matemática. Para resolver, vamos usar propriedades dos valores absolutos.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o que queremos provar:
Queremos mostrar que essa desigualdade é sempre verdadeira para quaisquer
reais.
Passo 3
Sabemos que a desigualdade triangular para números reais afirma que a distância direta entre dois pontos é sempre menor ou igual à soma das distâncias passando por um terceiro ponto. Isso é exatamente o que estamos tentando provar aqui.
Passo 4
Para provar isso, vamos considerar as duas possíveis situações para os números reais
,
e
: quando
e quando os números não estão nessa ordem.
Passo 5
Sem perder generalidade, vamos assumir que os números estão em ordem crescente:
. Nesse caso:
Passo 6
Substituindo na desigualdade que queremos provar:
Simplificando o lado direito:
Então temos:
Que é obviamente verdadeiro.
Passo 7
Agora, se os números não estiverem em ordem, a propriedade da desigualdade triangular ainda se aplica porque os valores absolutos consideram a distância independentemente da ordem dos números. Assim, a desigualdade é válida para quaisquer
reais.
Resposta
Portanto, provamos que para quaisquer
, vale que
.
Exercícios relacionados
Suponha que
onde
é uma sequência de termos positivos, mostre, por definição, que
.
Conjecture o valor do limite:
Depois verifique sua resposta demonstrando o valor diretamente da definição de limite.
Prove que
.
Suponha uma sequência
tal que
, para todo
. Mostre que
.