Decida, justificadamente, se os vetores formam uma base para o subespaço vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa decidir se os vetores , e formam uma base para o subespaço vetorial . Isso envolve conceitos de subespaços vetoriais e bases em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores estão dentro de e se são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que cada um desses vetores está realmente no subespaço . Para estar em , um vetor precisa satisfazer a equação .
Para o vetor : ✅
Para o vetor : ✅
Para o vetor : ✅
Então, todos os três vetores estão dentro de .
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear desses vetores resulta no vetor nulo, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Vamos montar a equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da quarta equação: , então
Se , então e
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Sim, os vetores , e formam uma base para o subespaço vetorial .