Decida, justificadamente, se os vetores (1,1,-2,0) ;(0,1,-1,1) ;(1,0,-1,1) formam uma base para o subespaço vetorial W=(x, y, z, t) in R^4: x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa decidir se os vetores , e formam uma base para o subespaço vetorial . Isso envolve conceitos de subespaços vetoriais e bases em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar verificar se esses vetores estão dentro de e se são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que cada um desses vetores está realmente no subespaço . Para estar em , um vetor precisa satisfazer a equação .
  • Para o vetor :
  • Para o vetor :
  • Para o vetor :
Então, todos os três vetores estão dentro de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear desses vetores resulta no vetor nulo, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Vamos montar a equação:
a(1,1,-2,0) + b(0,1,-1,1) + c(1,0,-1,1) = (0,0,0,0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + c = 0 a + b = 0 -2a - b - c = 0 b + c = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da quarta equação: , então
  4. Se , então e
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, os vetores , e formam uma base para o subespaço vetorial .

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