O conjunto
, das funções ímpares, é um subespaço vetorial das funções reais? (Justifique sua resposta).
Passo 1
Oi! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para saber se o conjunto
das funções ímpares é um subespaço vetorial das funções reais. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas condições fundamentais.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é um subespaço vetorial: um subconjunto
de um espaço vetorial é um subespaço se satisfizer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição, ou seja, se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o conjunto
contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço das funções é a função que é zero para todo
, ou seja,
para todo
. Vamos ver se essa função está em
.
Substituindo na condição de função ímpar:
Isso é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções ímpares
e
em
, ou seja:
Queremos ver se a função
também é ímpar.
Calculando
:
Como
, a função
também é ímpar. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma função ímpar
em
e um escalar
real. Queremos ver se a função
também é ímpar.
Calculando
:
Como
, a função
também é ímpar. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
das funções ímpares é um subespaço vetorial das funções reais, pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.