O conjunto B=f: R R mid f(x)=-f(-x), das funções ímpares, é um subespaço vetorial das funções reais? (Justifique sua resposta).

Passo 1

Oi! Vamos resolver essa questão juntos. O enunciado pede para saber se o conjunto das funções ímpares é um subespaço vetorial das funções reais. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e verificar algumas condições fundamentais.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é um subespaço vetorial: um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição, ou seja, se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o conjunto f(x) = -f(-x) Rightarrow 0 = -0 contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço das funções é a função que é zero para todo , ou seja, para todo . Vamos ver se essa função está em .
Substituindo na condição de função ímpar:
Isso é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se f(x) = -f(-x) e g(x) = -g(-x) é fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções ímpares h(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -h(x) e em , ou seja:
Queremos ver se a função também é ímpar.
Calculando :
Como , a função também é ímpar. Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se k(-x) = c cdot f(-x) = c cdot (-f(x)) = -c cdot f(x) = -k(x) é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma função ímpar em e um escalar real. Queremos ver se a função também é ímpar.
Calculando :
Como , a função também é ímpar. Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto das funções ímpares é um subespaço vetorial das funções reais, pois contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

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