Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 (radiano), determine
(b) |u-2 v|
(Dica: Ache u cdot v usando expressão geométrica |u| cdot|v| cdot cos theta, onde theta é o ângulo entre os vetores)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o módulo (ou tamanho) do vetor u - 2v. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o cálculo de módulos e produto escalar. A gente vai precisar saber como calcular o produto escalar entre dois vetores e como isso se relaciona com os ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre u e v. A fórmula para o produto escalar usando o ângulo entre os vetores é:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos theta
Sabemos que |u| = raiz2, |v| = 3 e theta = 3pi4. Vamos calcular cos theta:
cos(3pi4) = -raiz22
Agora, substituindo os valores na fórmula do produto escalar:
u cdot v = raiz2 cdot 3 cdot (-raiz22) = -3

Passo 3

Agora, vamos calcular |u - 2v|. Primeiro, vamos expandir essa expressão usando a propriedade dos módulos:
|u - 2v|^2 = |u|^2 + |2v|^2 - 2 cdot u cdot 2v
Vamos por partes:
  • |u|^2 = (raiz2)^2 = 2
  • |2v|^2 = (2 cdot 3)^2 = 36
  • u cdot 2v = 2 (u cdot v) = 2 cdot (-3) = -6
Substituindo esses valores na equação:
|u - 2v|^2 = 2 + 36 - 2 cdot (-6) = 38 + 12 = 50

Passo 4

Para encontrar |u - 2v|, tiramos a raiz quadrada de 50:
|u - 2v| = raiz50 = raiz25 cdot 2 = 5raiz2

Resposta

O módulo de u - 2v é 5raiz2.

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