Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada e precisa descobrir os autovalores e autovetores dela. Depois, se der certo, vamos diagonalizar a matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, então segura aí que vamos explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números que, quando subtraímos eles da diagonal principal da matriz e calculamos o determinante, o resultado é zero. A gente faz isso resolvendo a equação característica, que é:
det(A - lambda I) = 0
Onde:
1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4 é a matriz dada,
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 são os autovalores que queremos encontrar,
1 - lambda & -3 & 3 3 & -5 - lambda & 3 6 & -6 & 4 - lambda é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Nossa matriz é:
E a matriz identidade de ordem 3 é:
Então, fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero para achar .
Passo 3
Vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(-5 - lambda)(4 - lambda) - (3)(-6)] - (-3)[3(4 - lambda) - 3 times 6] + 3[3(-6) - (-5 - lambda) times 6] :
Agora, substituindo tudo de volta na expressão do determinante:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então, a equação característica é:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação cúbica 4^3 - 12(4) - 16 = 64 - 48 - 16 = 0 para encontrar os autovalores. Para isso, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são os divisores de 16 (termo independente) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder). Então, as possíveis raízes são lambda^3 - 12lambda - 16 = (lambda - 4)(lambda^2 + 4lambda + 4) .
Substituindo v = v1 v2 v2 - v1 = v1 1 0 -1 + v2 0 1 1 na primeira equação:
v2 = 1 0 -1 , v3 = 0 1 1
Então, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher , então um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Montando o sistema:
Podemos simplificar dividindo as equações por 3:
=> Nova equação redundante
Vamos expressar uma variável em termos das outras. Por exemplo, resolver para :
Então, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher dois vetores linearmente independentes, por exemplo:
Passo 6
Agora que temos os autovalores e os autovetores, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se conseguirmos encontrar um conjunto de autovetores linearmente independentes que forme uma base do espaço.
No nosso caso, temos três autovalores (incluindo a multiplicidade):
lambda1 = 4 (1 vez), lambda2 = -2 (2 vezes)
E temos três autovetores:
v1 = 1 1 2 , v2 = 1 0 -1 , v3 = 0 1 1
Como os autovetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), a matriz é diagonalizável.
Passo 7
Então, para diagonalizar a matriz P = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 , D = 4 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2 , montamos a matriz A = P D P^-1 com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
E temos que:
Resposta
Os autovalores da matriz são v1 = 1 1 2 , v2 = 1 0 -1 , v3 = 0 1 1 e P = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 , D = 4 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2 (com multiplicidade 2). Os autovetores correspondentes são:
A matriz é diagonalizável e pode ser expressa como , onde: