Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(e) (lll1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada e precisa descobrir os autovalores e autovetores dela. Depois, se der certo, vamos diagonalizar a matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, então segura aí que vamos explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números que, quando subtraímos eles da diagonal principal da matriz e calculamos o determinante, o resultado é zero. A gente faz isso resolvendo a equação característica, que é:
det(A - lambda I) = 0
Onde:
  • 1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4 é a matriz dada,
  • 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 são os autovalores que queremos encontrar,
  • 1 - lambda & -3 & 3 3 & -5 - lambda & 3 6 & -6 & 4 - lambda é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Nossa matriz é:
E a matriz identidade de ordem 3 é:
Então, fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero para achar .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(-5 - lambda)(4 - lambda) - (3)(-6)] - (-3)[3(4 - lambda) - 3 times 6] + 3[3(-6) - (-5 - lambda) times 6] :
(-5 - lambda)(4 - lambda) = (-5)(4) + (-5)(-lambda) + (-lambda)(4) + (-lambda)(-lambda) = -20 + 5lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 + lambda - 20
Vamos resolver cada parte:
  1. Calcular (3)(-6) = -18 :
lambda^2 + lambda - 20 - (-18) = lambda^2 + lambda - 2
3(4 - lambda) = 12 - 3lambda
Então:
3 times 6 = 18
  1. Calcular 12 - 3lambda - 18 = -3lambda - 6 :
3(-6) = -18
(-5 - lambda) times 6 = -30 - 6lambda
Então:
-18 - (-30 - 6lambda) = -18 + 30 + 6lambda = 12 + 6lambda
  1. Calcular det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 + lambda - 2) - (-3)(-3lambda - 6) + 3(12 + 6lambda) :
-lambda^3 + 3lambda - 2 - 9lambda - 18 + 36 + 18lambda = -lambda^3 + (3lambda - 9lambda + 18lambda) + (-2 - 18 + 36) = -lambda^3 + 12lambda + 16
-lambda^3 + 12lambda + 16 = 0
Então:
lambda^3 - 12lambda - 16 = 0
Agora, substituindo tudo de volta na expressão do determinante:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Então, a equação característica é:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação cúbica 4^3 - 12(4) - 16 = 64 - 48 - 16 = 0 para encontrar os autovalores. Para isso, podemos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere que possíveis raízes são os divisores de 16 (termo independente) divididos pelos divisores de 1 (coeficiente líder). Então, as possíveis raízes são lambda^3 - 12lambda - 16 = (lambda - 4)(lambda^2 + 4lambda + 4) .
Vamos testar lambda = -4 pm raiz16 - 162 = -4 pm 02 = -2 :
lambda1 = 4, lambda2 = -2 (com mu
Então, é um autovalor.
Agora, podemos usar a divisão sintética ou a fatoração para fatorar da equação cúbica:
Agora, vamos resolver :
Então, temos os autovalores:

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para A - 4I = 1-4 & -3 & 3 3 & -5-4 & 3 6 & -6 & 4-4 = -3 & -3 & 3 3 & -9 & 3 6 & -6 & 0 :
Resolvemos -3v1 - 3v2 + 3v3 = 0 3v1 - 9v2 + 3v3 = 0 6v1 - 6v2 + 0v3 = 0 :
-v1 - v1 + v3 = 0 Rightarrow -2v1 + v3 = 0 Rightarrow v3 = 2v1
Vamos montar o sistema:
v = v1 1 1 2 , v1 neq 0
Podemos simplificar as equações:
  1. v1 = 1 1 2
  2. A + 2I = 1+2 & -3 & 3 3 & -5+2 & 3 6 & -6 & 4+2 = 3 & -3 & 3 3 & -3 & 3 6 & -6 & 6
  3. 3v1 - 3v2 + 3v3 = 0 3v1 - 3v2 + 3v3 = 0 6v1 - 6v2 + 6v3 = 0 => v3 = v2 - v1
Substituindo v = v1 v2 v2 - v1 = v1 1 0 -1 + v2 0 1 1 na primeira equação:
v2 = 1 0 -1 , v3 = 0 1 1
Então, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher , então um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Montando o sistema:
Podemos simplificar dividindo as equações por 3:
  1. => Nova equação redundante
Vamos expressar uma variável em termos das outras. Por exemplo, resolver para :
Então, os autovetores para são da forma:
Podemos escolher dois vetores linearmente independentes, por exemplo:

Passo 6

Agora que temos os autovalores e os autovetores, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se conseguirmos encontrar um conjunto de autovetores linearmente independentes que forme uma base do espaço.
No nosso caso, temos três autovalores (incluindo a multiplicidade):
lambda1 = 4 (1 vez), lambda2 = -2 (2 vezes)
E temos três autovetores:
v1 = 1 1 2 , v2 = 1 0 -1 , v3 = 0 1 1
Como os autovetores são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), a matriz é diagonalizável.

Passo 7

Então, para diagonalizar a matriz P = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 , D = 4 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2 , montamos a matriz A = P D P^-1 com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
E temos que:

Resposta

Os autovalores da matriz são v1 = 1 1 2 , v2 = 1 0 -1 , v3 = 0 1 1 e P = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 , D = 4 & 0 & 0 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2 (com multiplicidade 2). Os autovetores correspondentes são:
A matriz é diagonalizável e pode ser expressa como , onde:

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Verifique se o subconjunto, abaixo, é subespaço vetorial do R^3 :
U=(x, y, z) mid x+y=1
Sejam u=(3,-4), v=(2,5). Determine
© (u+v) cdot(u-v)
O conjunto B=f: R R mid f(x)=-f(-x), das funções ímpares, é um subespaço vetorial das funções reais? (Justifique sua resposta).
Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 (radiano), determine
(b) |u-2 v|
(Dica: Ache u cdot v usando expressão geométrica |u| cdot|v| cdot cos theta, onde theta é o ângulo entre os vetores)