Verifique se o subconjunto, abaixo, é subespaço vetorial do R^3 :
U=(x, y, z) mid x+y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se o conjunto é um subespaço vetorial do . Isso se encaixa no conteúdo de Álgebra Linear, especialmente na parte de subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: Ou seja, o vetor está em .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar esses três pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em x + y = 0 + 0 = 0 neq 1 :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição dada:
Como , o vetor zero não está em .

Passo 4

2. Como o vetor zero não está em , já podemos concluir que não é um subespaço vetorial.
Mas, por completude, vamos entender o porquê dos demais critérios:
  • Fechamento por adição e escala: Mesmo que fosse fechado sob adição e escala, a ausência do vetor zero já impede que seja um subespaço.

Resposta

O conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero.

Exercícios relacionados

Sejam u=(3,-4), v=(2,5). Determine
© (u+v) cdot(u-v)
No R^2 definimos a adição por (x1, y1)+(x1, y1)=(0, y1-y2) e a multiplicação por escalar como a(x, y)=(a x, a y), para todo a in R. Nessas condições V é espaço vetorial sobre R ? Justifique.
Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(e) (lll1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4)
O conjunto B=f: R R mid f(x)=-f(-x), das funções ímpares, é um subespaço vetorial das funções reais? (Justifique sua resposta).