Prove que se
e
são subespaços de um espaço vetorial
, então
também é subespaços vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se
e
são subespaços de um espaço vetorial
, então a interseção desses subespaços,
, também é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar se um conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
Sabemos que
e
são subespaços de
, então o vetor zero
está em
e também em
. Portanto,
está na interseção
.
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Pegamos dois vetores quaisquer
e
em
. Isso significa que
e
estão tanto em
quanto em
. Como
é um subespaço,
está em
. Da mesma forma, como
é um subespaço,
também está em
. Assim,
está em
.
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor
em
e um escalar
. Como
está em
e
, e ambos são subespaços,
está em
e também em
. Logo,
está em
.
Resposta
Assim, mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
e que
e
formam ângulo de
(radiano), determine
(b)
(Dica: Ache usando expressão geométrica
, onde
é o ângulo entre os vetores)
(b)
(Dica: Ache
O conjunto
, das funções ímpares, é um subespaço vetorial das funções reais? (Justifique sua resposta).
Se |.|| for a norma da soma, calcule
:
.
Se |.|| for a norma do máximo, calcule
:
.