Prove que se U e V são subespaços de um espaço vetorial W, então U cap V também é subespaços vetorial de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se e são subespaços de um espaço vetorial , então a interseção desses subespaços, , também é um subespaço de . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar se um conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em :
Sabemos que e são subespaços de , então o vetor zero está em e também em . Portanto, está na interseção .
2. Verificar se é fechado sob adição:
Pegamos dois vetores quaisquer e em . Isso significa que e estão tanto em quanto em . Como é um subespaço, está em . Da mesma forma, como é um subespaço, também está em . Assim, está em .
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor em e um escalar . Como está em e , e ambos são subespaços, está em e também em . Logo, está em .

Resposta

Assim, mostramos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço vetorial de .

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