O conjunto nào é base do espaço sobre . Justifique a afirmação acima e encontre um subconjunto de que seja base do subespaço gerado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que o conjunto não é uma base do espaço sobre . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de bases e subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes e, caso não sejam, identificar um subconjunto que forma uma base para o subespaço que eles geram.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Ou seja, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz onde cada vetor de é uma coluna:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base. Caso contr��rio, são dependentes.
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Portanto, não é uma base de .
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um subconjunto de que seja linearmente independente e que gere o mesmo subespaço que . Vamos tentar remover um dos vetores e verificar a independência dos restantes.
Vamos considerar os vetores e :
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, esses dois vetores são linearmente independentes e formam uma base para o subespaço gerado por .
Resposta
O conjunto não é uma base de porque seus vetores são linearmente dependentes. Um subconjunto de que forma uma base para o subespaço gerado por é .