Discuta a exasténcia e unicadade de soluçües do sistema de equacōes lineares abaixo em termos do coeficiente , usando escalonamenta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que você enviou. Temos um sistema de três equações lineares com duas incógnitas, e , e um parâmetro . O objetivo é discutir quando esse sistema tem soluções e se essas soluções são únicas, tudo isso usando o método de escalonamento. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de álgebra linear, especificamente o escalonamento de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita o processo de escalonamento. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar o escalonamento. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular, onde conseguimos identificar se há soluções únicas, infinitas ou nenhuma solução.
Primeiro, vamos eliminar o termo das equações abaixo da primeira. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha e 5 vezes a primeira linha da terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 4

Continuando o escalonamento, queremos eliminar o termo da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e somamos à terceira linha.
Depois dessa operação, a matriz se torna:
Simplificando a última entrada:
Então, a matriz final está assim:

Passo 5

Agora, analisamos a última linha da matriz escalonada:
Essa equação significa , que simplifica para .

Passo 6

Vamos considerar os possíveis casos para o valor de :
  1. Se , ou seja, :
    • A última equação se torna , que é sempre verdadeira.
    • Nesse caso, temos uma equação a menos, indicando que há infinitas soluções.
  2. Se , ou seja, :
    • A última equação se torna algo diferente de zero, o que é impossível.
    • Isso significa que o sistema não tem solução.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
  • Quando , o sistema tem infinitas soluções.
  • Quando , o sistema não tem solução.

Resposta

O sistema de equações lineares tem infinitas soluções quando e não possui solução para qualquer outro valor de . Não há casos em que o sistema tenha uma solução única.

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