Encontre as coordenadas do vetor ( na base ordenada do espaço dos pares ordenados de reais

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor na base ordenada . Isso está ligado ao conteúdo de Mudança de Base na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em uma nova base, ou seja, como escrever como combinação linear dos vetores da base dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são “fundamentais” para o espaço, ou seja, qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. No nosso caso, a base é formada por e .

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar dois números, digamos e , tais que:

Isso significa que precisamos resolver a equação vetorial para descobrir os valores de e .

Passo 4

Vamos expandir a equação:

Isso simplifica para:
Agora, isso nos dá um sistema de equações:
Da segunda equação, já temos que . Substituindo esse valor na primeira equação:

Resposta

Então, as coordenadas do vetor na base são .

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Verifique se as seguintes funçöes shio transformagçes lineares entre os espagos dados:
i) sendo
ii) sendo