Encontre as coordenadas do vetor (
na base ordenada
do espaço dos pares ordenados de reais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor
na base ordenada
. Isso está ligado ao conteúdo de Mudança de Base na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em uma nova base, ou seja, como escrever
como combinação linear dos vetores da base dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base é um conjunto de vetores que são “fundamentais” para o espaço, ou seja, qualquer vetor desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. No nosso caso, a base é formada por
e
.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar dois números, digamos
e
, tais que:
Isso significa que precisamos resolver a equação vetorial para descobrir os valores de
Passo 4
Vamos expandir a equação:
Isso simplifica para:
Agora, isso nos dá um sistema de equações:
Da segunda equação, já temos que
. Substituindo esse valor na primeira equação:
Resposta
Então, as coordenadas do vetor
na base
são
.
Exercícios relacionados
O conjunto
nào é base do espaço
sobre
. Justifique a afirmação acima e encontre um subconjunto de
que seja base do subespaço gerado por
Verifique se as seguintes funçöes shio transformagçes lineares entre os espagos dados:
i) sendo
ii) sendo
i)
ii)