Escreva, se possível, w como combinação linear de v1, v2 e v3 :
v1=(2,1,-5), v2=(-1,3,0), v3=(2,-6,4) e w=(9,-6,-13).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa escrever o vetor w = (9, -6, -13) como uma combinação linear dos vetores v1 = (2, 1, -5), v2 = (-1, 3, 0) e v3 = (2, -6, 4). Isso significa que temos que encontrar coeficientes a, b e c tais que:
w = av1 + bv2 + cv3
Para fazer isso, vamos montar um sistema de equações usando as coordenadas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação vetorial em termos das componentes:
(9, -6, -13) = a(2, 1, -5) + b(-1, 3, 0) + c(2, -6, 4)
Isso dá três equações:
  1. Na primeira coordenada:
    2a - b + 2c = 9
  2. Na segunda coordenada:
    a + 3b - 6c = -6
  3. Na terceira coordenada:
    -5a + 0b + 4c = -13
Agora temos um sistema de 3 equações com 3 incógnitas.

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, olhamos para a terceira equação porque ela tem menos variáveis:
-5a + 4c = -13
Podemos isolar uma das variáveis. Vamos escolher a:
-5a = -13 - 4c a = 13 + 4c5

Passo 4

Agora que temos a em função de c, vamos substituir esse valor na primeira e na segunda equação para encontrar b e c.
Substituindo na primeira equação:
2(13 + 4c5) - b + 2c = 9 26 + 8c5 - b + 2c = 9 Muçã

Passo 5

Agora, substituímos a na segunda equação:
(13 + 4c5) + 3b - 6c = -6 13 + 4c5 + 3b - 6c = -6 Muçã

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações (Equação 4 e Equação 5):
  1. 18c - 5b = 19
  2. 15b - 26c = -43
Vamos resolver esse sistema. Podemos resolver a Equação 4 para b:
18c - 5b = 19 -5b = 19 - 18c b = 18c - 195

Passo 7

Substituímos esse valor de b na Equação 5:
15(18c - 195) - 26c = -43 3(18c - 19) - 26c = -43 54c - 57 - 26c = -43 28c - 57 = -43 28c = 14 c = 1428 c = 12

Passo 8

Agora que temos c = 12, vamos encontrar b usando a expressão que achamos:
b = 18c - 195 b = 18 times 12 - 195 b = 9 - 195 b = -105 b = -2

Passo 9

Com c e b encontrados, vamos voltar para a expressão de a:
a = 13 + 4c5 a = 13 + 4 times 125 a = 13 + 25 a = 155 a = 3

Resposta

Então, os coeficientes são a = 3, b = -2 e c = 12. Assim, podemos escrever o vetor w como combinação linear de v1, v2 e v3 da seguinte forma:
w = 3v1 - 2v2 + 12v3

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