Um conjunto de cargas é atendido por uma fonte trifásica balanceada com tensão de linha de 4160 V rms. A carga 1 é de 240 kVA com fp de 0,8 atrasado e a carga 2 é de 160 kVA com fp de 0,92 atrasado. Uma terceira carga é desconhecida, exceto que tem um fator de potência unitário. Se a corrente de linha for medida e for de 62 A rms, encontre a potência complexa da carga desconhecida.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fonte trifásica balanceada com uma tensão de linha de 4160 V RMS. Existem três cargas conectadas a essa fonte:
  • Carga 1: 240 kVA com fator de potência (fp) de 0,8 atrasado.
  • Carga 2: 160 kVA com fator de potência (fp) de 0,92 atrasado.
  • Carga 3: Desconhecida, mas sabemos que tem um fator de potência unitário (fp = 1).
Além disso, foi medida uma corrente de linha de 62 A RMS. Nosso objetivo é encontrar a potência complexa da carga desconhecida (Carga 3).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Potência Complexa (S): Combina a potência ativa § e a potência reativa (Q) numa única expressão.
  • Fator de Potência (fp): Relação entre a potência ativa e a potência aparente.
  • Sistema Trifásico Balanceado: Facilita os cálculos porque as três fases têm as mesmas magnitudes e estão defasadas igualmente.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a potência aparente total fornecida pela fonte trifásica. A fórmula para a potência aparente total (S_total) em um sistema trifásico é:
Stotal = raiz3 times Vlinha times Ilinha
Onde:
  • Stotal = raiz3 times 4160 times 62 V
  • Stotal approx 1,732 times 4160 times 62 approx 444,974.4 VA approx 445 kVA A
Vamos calcular:

Passo 3

Agora, vamos calcular a potência complexa das duas primeiras cargas conhecidas.
A potência complexa S = P + jQ é dada por:
P1 = 240 times 0,8 = 192 kW
Onde:
  • Q1 = 240 times sin(arccos(0,8)) = 240 times sin(36,87°) approx 240 times 0,6 = 144 kVAR
  • S1 = 192 + j144 kVA
Para a Carga 1:
  • P2 = 160 times 0,92 = 147,2 kW kVA
  • Q2 = 160 times sin(arccos(0,92)) = 160 times sin(23,07°) approx 160 times 0,394 = 63,04 kVAR
Calculando S2 = 147,2 + j63,04 kVA e :
Então,
Para a Carga 2:
  • kVA
Calculando e :
Então,

Passo 4

Sabendo que a potência total fornecida pela fonte é a soma das potências das três cargas:
Stotal = S1 + S2 + S3
Queremos encontrar S3 = Stotal - S1 - S2 , então vamos rearranjar a equação:
S3 = 445 - (192 + j144) - (147,2 + j63,04)
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 5

Vamos realizar a subtração:
Primeiro, somamos S1 + S2 = (192 + 147,2) + j(144 + 63,04) = 339,2 + j207,04 kVA e S3 = 445 - 339,2 - j207,04 = 105,8 - j207,04 kVA :
Agora, subtraímos isso de :

Passo 6

Então, a potência complexa da carga desconhecida S3 = 105,8 - j207,04 kVA é:
Isso significa que a carga desconhecida tem uma potência ativa de 105,8 kW e uma potência reativa de -207,04 kVAR (o sinal negativo indica que a carga é capacitiva).

Resposta

A potência complexa da carga desconhecida é kVA.

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