Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado e um conjunto limitado não-fechado , cujos pontos são todos isolados.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos diz que um conjunto compacto com pontos todos isolados é finito. Agora, precisamos encontrar dois exemplos específicos:
Um conjunto fechado e ilimitado chamado , onde todos os pontos são isolados.
Um conjunto limitado e não-fechado chamado , também com todos os pontos isolados.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de conjuntos fechados, limitados, compactos e o que significa ter todos os pontos isolados.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o conjunto . Queremos que ele seja fechado e ilimitado. Um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de acumulação. Já ilimitado significa que ele se estende infinitamente, sem restrições de tamanho.
Passo 3
Um bom exemplo de conjunto fechado e ilimitado com todos os pontos isolados é o conjunto dos números inteiros, representado por . Cada número inteiro é isolado porque não há outros inteiros “muito perto” dele, e o conjunto é ilimitado porque vai para e .
Passo 4
Agora, vamos para o conjunto . Ele precisa ser limitado e não-fechado. Um conjunto limitado está contido dentro de algum intervalo finito, e não fechado significa que falta pelo menos um ponto de acumulação.
Passo 5
Um exemplo clássico de conjunto limitado e não-fechado com todos os pontos isolados é o conjunto . Aqui, cada ponto é isolado porque há um espaço entre cada termos, e o conjunto está limitado entre 0 e 1. Porém, ele não é fechado porque o ponto 0, que seria o limite desse conjunto, não está incluído.
Resposta
Um exemplo de conjunto fechado ilimitado é o conjunto dos números inteiros . Já um exemplo de conjunto limitado não-fechado é .