Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado não-fechado Y, cujos pontos são todos isolados.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos diz que um conjunto compacto com pontos todos isolados é finito. Agora, precisamos encontrar dois exemplos específicos:
  1. Um conjunto fechado e ilimitado chamado X, onde todos os pontos são isolados.
  2. Um conjunto limitado e não-fechado chamado Y, também com todos os pontos isolados.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de conjuntos fechados, limitados, compactos e o que significa ter todos os pontos isolados.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o conjunto X. Queremos que ele seja fechado e ilimitado. Um conjunto fechado é aquele que contém todos os seus pontos de acumulação. Já ilimitado significa que ele se estende infinitamente, sem restrições de tamanho.

Passo 3

Um bom exemplo de conjunto fechado e ilimitado com todos os pontos isolados é o conjunto dos números inteiros, representado por Z. Cada número inteiro é isolado porque não há outros inteiros “muito perto” dele, e o conjunto é ilimitado porque vai para +infinito e -infinito.

Passo 4

Agora, vamos para o conjunto Y. Ele precisa ser limitado e não-fechado. Um conjunto limitado está contido dentro de algum intervalo finito, e não fechado significa que falta pelo menos um ponto de acumulação.

Passo 5

Um exemplo clássico de conjunto limitado e não-fechado com todos os pontos isolados é o conjunto . Aqui, cada ponto 1/n é isolado porque há um espaço entre cada termos, e o conjunto está limitado entre 0 e 1. Porém, ele não é fechado porque o ponto 0, que seria o limite desse conjunto, não está incluído.

Resposta

Um exemplo de conjunto fechado ilimitado X é o conjunto dos números inteiros Z. Já um exemplo de conjunto limitado não-fechado Y é .

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