In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições de contorno
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que vamos determinar. Ao substituir na equação, temos:
Podemos dividir por
(que nunca é zero) e ficamos com a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
para aplicar as condições de contorno:
Passo 5
Aplicando a primeira condição de contorno
:
Então:
Passo 6
Aplicando a segunda condição de contorno
:
Sabemos que
, então substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos escrever a solução completa:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições de contorno dadas é:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de um exemplo de função
que satisfaz todas as condições dadas.
Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tais que
e
.
Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado
e um conjunto limitado não-fechado
, cujos pontos são todos isolados.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)