In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições de contorno e . Nosso objetivo aqui é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Para isso, assumimos uma solução da forma , onde é um número que vamos determinar. Ao substituir na equação, temos:
Podemos dividir por (que nunca é zero) e ficamos com a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de para aplicar as condições de contorno:

Passo 5

Aplicando a primeira condição de contorno :
Então:

Passo 6

Aplicando a segunda condição de contorno :
Sabemos que , então substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora que temos e , podemos escrever a solução completa:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições de contorno dadas é:

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Esboce o gráfico de um exemplo de função que satisfaz todas as condições dadas.
Dê exemplo de uma sequência decrescente de conjuntos fechados não-vazios
e uma sequência decrescente de conjuntos limitados não-vazios
tais que e .
Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado e um conjunto limitado não-fechado , cujos pontos são todos isolados.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)