In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com condições de contorno. A questão nos dá a equação
com as condições
e
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições dadas para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno
. Vamos substituir
na solução geral:
Então, descobrimos que
.
Passo 4
Com
, a solução simplifica para:
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno
:
Passo 5
Para que
, ou
ou
. Se
, então a solução trivial é
. Mas queremos soluções não triviais, então precisamos que
.
Passo 6
A equação
é satisfeita quando
, onde
é um número inteiro. Portanto, para existir uma solução não trivial, o comprimento
deve ser múltiplo de
.
Passo 7
Resumindo, a solução não trivial
existe se e somente se
. Se essa condição for atendida,
pode ser qualquer constante real.
Resposta
A equação diferencial
com as condições de contorno
e
possui soluções não triviais da forma
se, e somente se,
, onde
é um número inteiro.
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Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado
e um conjunto limitado não-fechado
, cujos pontos são todos isolados.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Se
é compacto e
é fechado, então
é compacto.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)