In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com condições de contorno. A questão nos dá a equação com as condições e . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e condições de contorno. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e aplicar as condições dadas para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é da forma:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, aplicamos a primeira condição de contorno . Vamos substituir na solução geral:
Então, descobrimos que .

Passo 4

Com , a solução simplifica para:
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno :

Passo 5

Para que , ou ou . Se , então a solução trivial é . Mas queremos soluções não triviais, então precisamos que .

Passo 6

A equação é satisfeita quando , onde é um número inteiro. Portanto, para existir uma solução não trivial, o comprimento deve ser múltiplo de .

Passo 7

Resumindo, a solução não trivial existe se e somente se . Se essa condição for atendida, pode ser qualquer constante real.

Resposta

A equação diferencial com as condições de contorno e possui soluções não triviais da forma se, e somente se, , onde é um número inteiro.

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Um conjunto compacto cujos pontos são todos isolados é finito. Dê exemplo de um conjunto fechado ilimitado e um conjunto limitado não-fechado , cujos pontos são todos isolados.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)
Se é compacto e é fechado, então é compacto.
In each of Problems 1 through 13, either solve the given boundary value problem or else show that it has no solution. (Problems 11 through 13 involve Euler equations; see Section 5.4.)