Se é compacto e é fechado, então é compacto.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se é compacto e é fechado, então a interseção também é compacto. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente os de conjuntos compactos e fechados, para provar isso.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um conjunto ser compacto. Um conjunto é compacto se toda cobertura aberta de tem uma subcobertura finita. Isso quer dizer que, se cobrirmos com um monte de conjuntos abertos, podemos sempre encontrar um número finito desses conjuntos que também cobre .

Passo 3

Agora, o que é um conjunto fechado? Um conjunto é fechado se seu complemento é aberto. Outra maneira de pensar nisso é que contém todos os seus pontos-limite, ou seja, se uma sequência de pontos em converge, seu limite também está em .

Passo 4

Queremos mostrar que é compacto. Sabemos que é compacto e é fechado. Vamos usar a propriedade de que os fechados de espaços compactos são compactos.

Passo 5

Como é fechado e é compacto, a interseção é um subconjunto fechado de . Em espaços compactos, qualquer subconjunto fechado é compacto. Portanto, é compacto.

Resposta

Assim, mostramos que se é compacto e é fechado, então também é compacto.

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