Se
é compacto e
é fechado, então
é compacto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação diz que se
é compacto e
é fechado, então a interseção
também é compacto. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente os de conjuntos compactos e fechados, para provar isso.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa um conjunto ser compacto. Um conjunto
é compacto se toda cobertura aberta de
tem uma subcobertura finita. Isso quer dizer que, se cobrirmos
com um monte de conjuntos abertos, podemos sempre encontrar um número finito desses conjuntos que também cobre
.
Passo 3
Agora, o que é um conjunto fechado? Um conjunto
é fechado se seu complemento é aberto. Outra maneira de pensar nisso é que
contém todos os seus pontos-limite, ou seja, se uma sequência de pontos em
converge, seu limite também está em
.
Passo 4
Queremos mostrar que
é compacto. Sabemos que
é compacto e
é fechado. Vamos usar a propriedade de que os fechados de espaços compactos são compactos.
Passo 5
Como
é fechado e
é compacto, a interseção
é um subconjunto fechado de
. Em espaços compactos, qualquer subconjunto fechado é compacto. Portanto,
é compacto.
Resposta
Assim, mostramos que se
é compacto e
é fechado, então
também é compacto.
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e um conjunto limitado não-fechado
, cujos pontos são todos isolados.
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