Um conjunto de cordas de uma guitarra tem densidades lineares de massa mu=1,236,1,91,4,12,6,48, 14,0 , e 23,1 g / m. Essas cordas são colocadas em uma guitarra com braço de L=65 cm para produzir notas musicais com frequências f=82,41,110,00,146,83,196,00,246,94, e 329,63 Hz, onde cordas mais densas são utilizada para produzir sons mais graves, isto é, sons com frequências mais baixas. (a) Encontre a equação que determina a tensão que cada corda deve ter para produzir as frequências desejadas no modo fundamental de uma guitarra de comprimento L, ou seja, encontre uma função tau(mu, f, L). (b) Quais devem ser as tensões na corda mais grossa e na corda mais fina para que elas produzam as frequências desejadas? (Não é necessário calcular as tensões das outras cordas.) © Quais devem ser as tensões se na corda mais grossa e na corda mais fina se elas forem ajustadas para produzir as frequências mais alta e mais baixa, respectivamente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre as cordas de uma guitarra que têm diferentes densidades lineares de massa ( mu) e precisam produzir certas frequências ( f) quando vibram. O braço da guitarra tem um comprimento L. A gente vai usar conceitos de física das cordas vibrantes para encontrar a tensão necessária em cada corda para que elas produzam as notas desejadas. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona tensão, densidade linear de massa, comprimento e frequência das cordas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona a tensão ( tau) em uma corda com sua densidade linear de massa ( mu), comprimento ( L) e frequência fundamental ( f). A frequência fundamental de uma corda vibrante é dada por:
f = 12L raiztaumu
Essa fórmula diz que a frequência está ligada à tensão e à densidade da corda. Nosso objetivo no item (a) é isolar a tensão tau nessa equação para expressá-la como função de mu, f e L.

Passo 3

Vamos isolar tau na fórmula. Começamos multiplicando ambos os lados por 2L:
2L f = raiztaumu
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
(2L f)^2 = taumu
Isso simplifica para:
4L^2 f^2 = taumu
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por mu para isolar tau:
tau = 4 mu L^2 f^2

Passo 4

Então, a equação que determina a tensão tau em função da densidade linear de massa mu, frequência f e comprimento L é:
tau(mu, f, L) = 4 mu L^2 f^2

Resposta

A equação que determina a tensão em cada corda é tau(mu, f, L) = 4 mu L^2 f^2.

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