Um conjunto de cordas de uma guitarra tem densidades lineares de massa
, 14,0 , e
. Essas cordas são colocadas em uma guitarra com braço de
para produzir notas musicais com frequências
, e
, onde cordas mais densas são utilizada para produzir sons mais graves, isto é, sons com frequências mais baixas. (a) Encontre a equação que determina a tensão que cada corda deve ter para produzir as frequências desejadas no modo fundamental de uma guitarra de comprimento
, ou seja, encontre uma função
. (b) Quais devem ser as tensões na corda mais grossa e na corda mais fina para que elas produzam as frequências desejadas? (Não é necessário calcular as tensões das outras cordas.) © Quais devem ser as tensões se na corda mais grossa e na corda mais fina se elas forem ajustadas para produzir as frequências mais alta e mais baixa, respectivamente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre as cordas de uma guitarra que têm diferentes densidades lineares de massa (
) e precisam produzir certas frequências (
) quando vibram. O braço da guitarra tem um comprimento
. A gente vai usar conceitos de física das cordas vibrantes para encontrar a tensão necessária em cada corda para que elas produzam as notas desejadas. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona tensão, densidade linear de massa, comprimento e frequência das cordas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona a tensão (
) em uma corda com sua densidade linear de massa (
), comprimento (
) e frequência fundamental (
). A frequência fundamental de uma corda vibrante é dada por:
Essa fórmula diz que a frequência está ligada à tensão e à densidade da corda. Nosso objetivo no item (a) é isolar a tensão
nessa equação para expressá-la como função de
,
e
.
Passo 3
Vamos isolar
na fórmula. Começamos multiplicando ambos os lados por
:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para tirar a raiz:
Isso simplifica para:
Finalmente, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 4
Então, a equação que determina a tensão
em função da densidade linear de massa
, frequência
e comprimento
é:
Resposta
A equação que determina a tensão em cada corda é
.