Se é um conjunto enumerável e um conjunto contável, mostre que é enumerável. Use este fato para mostrar que o conjunto dos irracionais não é enumerável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente mostrar duas coisas:
  1. Se é um conjunto enumerável e é um conjunto contável, então a união também é enumerável.
  2. Usar esse resultado para provar que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e contável. Também vamos usar um pouco de teoria sobre uniões de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência infinita, como os números naturais . Ou seja, existe uma função bijetora entre e o conjunto em questão.
Um conjunto contável pode ser finito ou enumerável. Então, se é contável, ele pode ser finito ou ter a mesma “tamanho” de .

Passo 3

Agora, para mostrar que é enumerável, vamos considerar dois casos:
  1. é finito: Se tem um número finito de elementos, a união ainda será enumerável porque estamos apenas adicionando um número finito de elementos a , que já é enumerável.
  2. é enumerável infinito: Nesse caso, tanto quanto podem ser listados como sequências e . Podemos então intercalar os elementos de e para formar uma nova sequência que lista todos os elementos de . Por exemplo:
    Essa nova sequência cobre todos os elementos de , mostrando que ela é enumerável.

Passo 4

Agora que mostramos que a união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável, vamos aplicar isso para mostrar que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.
Sabemos que o conjunto dos números reais não é enumerável (isso foi provado por Cantor). Também sabemos que os números racionais são enumeráveis.
Os números irracionais são o conjunto . Se assumíssemos que os irracionais fossem enumeráveis, então poderíamos escrever .
Como é enumerável e seria enumerável pelo nosso argumento, a união também seria enumerável. Mas isso é um absurdo, pois sabemos que não é enumerável. Portanto, nossa suposição está errada, e os números irracionais não são enumeráveis.

Resposta

Assim, provamos que é enumerável quando é enumerável e é contável, e usando isso mostramos que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.

Exercícios relacionados

Prove que a função introduzida na demonstração do Teorema 1.6.8 satisfaz: para todo .
Um subconjunto se diz limitado se existe tal que para todo . Se adicionalmente tem-se que dizemos que é o elemento máximo de . Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é finito;
(b) é limitado;
© tem elemento máximo.
Identifique a curva definida pela função vetorial
Identifique a curva definida pela função vetorial
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