Se
é um conjunto enumerável e
um conjunto contável, mostre que
é enumerável. Use este fato para mostrar que o conjunto dos irracionais não é enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente mostrar duas coisas:
- Se
é um conjunto enumerável e é um conjunto contável, então a união também é enumerável. - Usar esse resultado para provar que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e contável. Também vamos usar um pouco de teoria sobre uniões de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se seus elementos podem ser listados em uma sequência infinita, como os números naturais
. Ou seja, existe uma função bijetora entre
e o conjunto em questão.
Um conjunto contável pode ser finito ou enumerável. Então, se
é contável, ele pode ser finito ou ter a mesma “tamanho” de
.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é enumerável, vamos considerar dois casos:
-
é finito: Se tem um número finito de elementos, a união ainda será enumerável porque estamos apenas adicionando um número finito de elementos a , que já é enumerável. -
é enumerável infinito: Nesse caso, tanto quanto podem ser listados como sequências e . Podemos então intercalar os elementos de e para formar uma nova sequência que lista todos os elementos de . Por exemplo: Essa nova sequência cobre todos os elementos de, mostrando que ela é enumerável.
Passo 4
Agora que mostramos que a união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável, vamos aplicar isso para mostrar que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.
Sabemos que o conjunto dos números reais
não é enumerável (isso foi provado por Cantor). Também sabemos que os números racionais
são enumeráveis.
Os números irracionais são o conjunto
. Se assumíssemos que os irracionais fossem enumeráveis, então poderíamos escrever
.
Como
é enumerável e
seria enumerável pelo nosso argumento, a união
também seria enumerável. Mas isso é um absurdo, pois sabemos que
não é enumerável. Portanto, nossa suposição está errada, e os números irracionais não são enumeráveis.
Resposta
Assim, provamos que
é enumerável quando
é enumerável e
é contável, e usando isso mostramos que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.
Exercícios relacionados
Prove que a função
introduzida na demonstração do Teorema 1.6.8 satisfaz:
para todo
.
Um subconjunto
se diz limitado se existe
tal que
para todo
. Se adicionalmente tem-se que
dizemos que
é o elemento máximo de
. Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é finito;
(b) é limitado;
© tem elemento máximo.
(a)
(b)
©
Identifique a curva definida pela função vetorial
Identifique a curva definida pela função vetorial
;