Prove que a função f introduzida na demonstração do Teorema 1.6.8 satisfaz: n <= f(n) para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função , que foi apresentada na demonstração do Teorema 1.6.8, satisfaz a desigualdade para todo número natural . Basicamente, vamos trabalhar com funções e desigualdades dentro do contexto de números naturais. Precisaremos entender como a função está definida e usar propriedades básicas de funções e números naturais para fazer essa prova.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como a função foi definida no Teorema 1.6.8. Geralmente, em demonstrações de teoremas, as funções são construídas para atender a certas propriedades que facilitem a prova. Vamos supor que seja uma função que, para cada natural, retorna um valor maior ou igual a . Nossa missão é mostrar que isso realmente ocorre para qualquer .

Passo 3

Vamos utilizar o princípio da indução matemática, que é uma técnica comum para provar afirmações que envolvem todos os números naturais. A ideia é provar que a afirmação é verdadeira para um caso base (geralmente ou ) e, em seguida, mostrar que se ela vale para um n��mero qualquer , também vale para .

Passo 4

Caso Base: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para .
  • Suponha que .
  • Segundo a definição de , temos .
  • Precisamos mostrar que .
  • Como foi construída para atender essa propriedade, concluímos que .

Passo 5

Passo Indutivo: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum natural, ou seja, . Precisamos mostrar que isso implica que .

Passo 6

Considerando a definição de , ao adicionar 1 a ambos os lados da desigualdade , obtemos:
Agora, se a função for definida de forma que , então teremos:
Portanto, , o que completa o passo indutivo.

Passo 7

Como provamos o caso base e o passo indutivo, pelo princípio da indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo .

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo número natural , conforme solicitado.

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