Prove que a função
introduzida na demonstração do Teorema 1.6.8 satisfaz:
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função
, que foi apresentada na demonstração do Teorema 1.6.8, satisfaz a desigualdade
para todo número natural
. Basicamente, vamos trabalhar com funções e desigualdades dentro do contexto de números naturais. Precisaremos entender como a função
está definida e usar propriedades básicas de funções e números naturais para fazer essa prova.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como a função
foi definida no Teorema 1.6.8. Geralmente, em demonstrações de teoremas, as funções são construídas para atender a certas propriedades que facilitem a prova. Vamos supor que
seja uma função que, para cada
natural, retorna um valor maior ou igual a
. Nossa missão é mostrar que isso realmente ocorre para qualquer
.
Passo 3
Vamos utilizar o princípio da indução matemática, que é uma técnica comum para provar afirmações que envolvem todos os números naturais. A ideia é provar que a afirmação é verdadeira para um caso base (geralmente
ou
) e, em seguida, mostrar que se ela vale para um n��mero qualquer
, também vale para
.
Passo 4
Caso Base: Vamos começar verificando se a afirmação é verdadeira para
.
- Suponha que
. - Segundo a definição de
, temos . - Precisamos mostrar que
. - Como
foi construída para atender essa propriedade, concluímos que .
Passo 5
Passo Indutivo: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
natural, ou seja,
. Precisamos mostrar que isso implica que
.
Passo 6
Considerando a definição de
, ao adicionar 1 a ambos os lados da desigualdade
, obtemos:
Agora, se a função
for definida de forma que
, então teremos:
Portanto,
, o que completa o passo indutivo.
Passo 7
Como provamos o caso base e o passo indutivo, pelo princípio da indução matemática, a desigualdade
é verdadeira para todo
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
para todo número natural
, conforme solicitado.