Um subconjunto A ⊆ N se diz limitado se existe n0 pertence a N tal que n <= n0 para todo n in A. Se adicionalmente tem-se que n0 em A dizemos que n0 é o elemento máximo de A. Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) A é finito;
(b) A é limitado;
© A tem elemento máximo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto A que é um subconjunto dos números naturais N. Precisamos provar que três afirmações sobre A são equivalentes:
  • (a) A é finito;
  • (b) A é limitado;
  • © A tem um elemento máximo.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos finitos, limites e elementos máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que (a) implica (b), ou seja, se A é finito, então A é limitado.
Um conjunto finito tem um número limitado de elementos. Como todos os elementos de A são números naturais e há apenas uma quantidade finita deles, existe um maior número entre eles. Esse número serve como limite para o conjunto A. Portanto, A é limitado.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que (b) implica ©, ou seja, se A é limitado, então A tem um elemento máximo.
Se A é limitado, existe um número natural n0 tal que todo elemento n in A satisfaz n <= n0. Como estamos trabalhando com números naturais e A é finito (como já mostramos no Passo 2), pelo princípio bem ordenado dos números naturais, existe um maior elemento em A. Esse elemento é o elemento máximo de A.

Passo 4

Por último, vamos provar que © implica (a), ou seja, se A tem um elemento máximo, então A é finito.
Se A tem um elemento máximo n0, isso significa que nenhum número em A é maior que n0. Como os números naturais são bem ordenados, entre 1 e n0 só há um número finito de elementos. Logo, A não pode ter infinitos elementos, ou seja, A é finito.

Resposta

Assim, mostramos que as três afirmações são equivalentes: A é finito se e somente se A é limitado se e somente se A tem um elemento máximo.

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