Um subconjunto
se diz limitado se existe
tal que
para todo
. Se adicionalmente tem-se que
dizemos que
é o elemento máximo de
. Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a)
é finito;
(b)
é limitado;
©
tem elemento máximo.
(a)
(b)
©
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que é um subconjunto dos números naturais
. Precisamos provar que três afirmações sobre
são equivalentes:
- (a)
é finito; - (b)
é limitado; - ©
tem um elemento máximo.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos finitos, limites e elementos máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que (a) implica (b), ou seja, se
é finito, então
é limitado.
Um conjunto finito tem um número limitado de elementos. Como todos os elementos de
são números naturais e há apenas uma quantidade finita deles, existe um maior número entre eles. Esse número serve como limite para o conjunto
. Portanto,
é limitado.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que (b) implica ©, ou seja, se
é limitado, então
tem um elemento máximo.
Se
é limitado, existe um número natural
tal que todo elemento
satisfaz
. Como estamos trabalhando com números naturais e
é finito (como já mostramos no Passo 2), pelo princípio bem ordenado dos números naturais, existe um maior elemento em
. Esse elemento é o elemento máximo de
.
Passo 4
Por último, vamos provar que © implica (a), ou seja, se
tem um elemento máximo, então
é finito.
Se
tem um elemento máximo
, isso significa que nenhum número em
é maior que
. Como os números naturais são bem ordenados, entre 1 e
só há um número finito de elementos. Logo,
não pode ter infinitos elementos, ou seja,
é finito.
Resposta
Assim, mostramos que as três afirmações são equivalentes:
é finito se e somente se
é limitado se e somente se
tem um elemento máximo.
Exercícios relacionados
Prove que todo número racional pode ser escrito da forma
.
Sejam
e
dois conjuntos finitos de
e
elementos, mostre que
tem
elementos.
Prove que a função
introduzida na demonstração do Teorema 1.6.8 satisfaz:
para todo
.
Se
é um conjunto enumerável e
um conjunto contável, mostre que
é enumerável. Use este fato para mostrar que o conjunto dos irracionais não é enumerável.