Um subconjunto se diz limitado se existe tal que para todo . Se adicionalmente tem-se que dizemos que é o elemento máximo de . Com estas definições prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) é finito;
(b) é limitado;
© tem elemento máximo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é um subconjunto dos números naturais . Precisamos provar que três afirmações sobre são equivalentes:
  • (a) é finito;
  • (b) é limitado;
  • © tem um elemento máximo.
Para isso, vamos usar conceitos básicos de conjuntos finitos, limites e elementos máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que (a) implica (b), ou seja, se é finito, então é limitado.
Um conjunto finito tem um número limitado de elementos. Como todos os elementos de são números naturais e há apenas uma quantidade finita deles, existe um maior número entre eles. Esse número serve como limite para o conjunto . Portanto, é limitado.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que (b) implica ©, ou seja, se é limitado, então tem um elemento máximo.
Se é limitado, existe um número natural tal que todo elemento satisfaz . Como estamos trabalhando com números naturais e é finito (como já mostramos no Passo 2), pelo princípio bem ordenado dos números naturais, existe um maior elemento em . Esse elemento é o elemento máximo de .

Passo 4

Por último, vamos provar que © implica (a), ou seja, se tem um elemento máximo, então é finito.
Se tem um elemento máximo , isso significa que nenhum número em é maior que . Como os números naturais são bem ordenados, entre 1 e só há um número finito de elementos. Logo, não pode ter infinitos elementos, ou seja, é finito.

Resposta

Assim, mostramos que as três afirmações são equivalentes: é finito se e somente se é limitado se e somente se tem um elemento máximo.

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