Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, então ele é convexo. Estamos trabalhando com Geometria Convexa, mais especificamente com conceitos de conjuntos estrelados e convexos. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de conjunto estrelado e conjunto convexo, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser estrelado com relação a um ponto. Um conjunto forall y in C, forall t in [0,1], tx + (1 - t)y in C é estrelado em relação a um ponto se, para qualquer outro ponto , o segmento de reta que liga a está totalmente contido em . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos no conjunto, o segmento de reta que os une também está totalmente contido no conjunto. Ou seja,
forall x, y in C, forall t in [0,1], tx + (1 - t)y in C

Passo 4

O enunciado diz que o conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos. Isso significa que, para qualquer ponto , o conjunto é estrelado em relação a esse . Então, se pegarmos quaisquer dois pontos e em , como o conjunto é estrelado em relação a , o segmento de reta entre e está em .

Passo 5

Como isso vale para qualquer par de pontos e em , de acordo com a definição de convexo, isso implica que o conjunto é convexo. Basicamente, ser estrelado em relação a todos os seus pontos garante que qualquer segmento de reta entre dois pontos do conjunto está dentro dele, o que é exatamente a condição para a convexidade.

Resposta

Portanto, se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, ele é convexo.

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