Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, então ele é convexo. Estamos trabalhando com Geometria Convexa, mais especificamente com conceitos de conjuntos estrelados e convexos. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de conjunto estrelado e conjunto convexo, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser estrelado com relação a um ponto. Um conjunto é estrelado em relação a um ponto se, para qualquer outro ponto , o segmento de reta que liga a está totalmente contido em . Em termos matemáticos:

Passo 3

Agora, um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos no conjunto, o segmento de reta que os une também está totalmente contido no conjunto. Ou seja,

Passo 4

O enunciado diz que o conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos. Isso significa que, para qualquer ponto , o conjunto é estrelado em relação a esse . Então, se pegarmos quaisquer dois pontos e em , como o conjunto é estrelado em relação a , o segmento de reta entre e está em .

Passo 5

Como isso vale para qualquer par de pontos e em , de acordo com a definição de convexo, isso implica que o conjunto é convexo. Basicamente, ser estrelado em relação a todos os seus pontos garante que qualquer segmento de reta entre dois pontos do conjunto está dentro dele, o que é exatamente a condição para a convexidade.

Resposta

Portanto, se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, ele é convexo.

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos. Mostre que .
Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.
Seja um subconjunto do plano. Dizemos que é estrelado relativamente a um ponto quando, para todo ponto , o segmento está totalmente contido em . Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.
Suponha que . Calcule:
b) .