Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, então ele é convexo. Estamos trabalhando com Geometria Convexa, mais especificamente com conceitos de conjuntos estrelados e convexos. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de conjunto estrelado e conjunto convexo, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto ser estrelado com relação a um ponto. Um conjunto
é estrelado em relação a um ponto
se, para qualquer outro ponto
, o segmento de reta que liga
a
está totalmente contido em
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Agora, um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos no conjunto, o segmento de reta que os une também está totalmente contido no conjunto. Ou seja,
Passo 4
O enunciado diz que o conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos. Isso significa que, para qualquer ponto
, o conjunto é estrelado em relação a esse
. Então, se pegarmos quaisquer dois pontos
e
em
, como o conjunto é estrelado em relação a
, o segmento de reta entre
e
está em
.
Passo 5
Como isso vale para qualquer par de pontos
e
em
, de acordo com a definição de convexo, isso implica que o conjunto
é convexo. Basicamente, ser estrelado em relação a todos os seus pontos garante que qualquer segmento de reta entre dois pontos do conjunto está dentro dele, o que é exatamente a condição para a convexidade.
Resposta
Portanto, se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, ele é convexo.
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos. Mostre que
.
Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.
Seja
um subconjunto do plano. Dizemos que
é estrelado relativamente a um ponto
quando, para todo ponto
, o segmento
está totalmente contido em
. Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.
Suponha que
. Calcule:
b) .
b)