Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar, usando um contra-exemplo, que a união de conjuntos convexos pode não ser um conjunto convexo. Isso está no campo da geometria, mais especificamente no estudo de conjuntos convexos. Para resolver isso, a gente precisa encontrar dois conjuntos que, individualmente, são convexos, mas cuja união não é convexa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto convexo. Um conjunto é chamado de convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, todo o segmento de reta que liga esses pontos também está totalmente dentro do conjunto. Em outras palavras, se você pegar dois pontos e desenhar uma linha reta entre eles, essa linha não sai do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos escolher dois conjuntos convexos cujo encontro não seja convexo. Vamos usar dois círculos que se tocam em apenas um ponto. Por exemplo, imagine dois círculos de raio 1, onde o centro de um está em (0,0) e o do outro está em (2,0). Cada círculo sozinho é convexo porque qualquer linha reta entre dois pontos dentro de um círculo fica dentro do mesmo círculo.
Passo 4
Vamos analisar a união desses dois círculos. Pegue um ponto A no primeiro círculo, digamos em (0,1), e um ponto B no segundo círculo, em (2,1). Esses pontos estão na união dos dois conjuntos. Agora, desenhe a linha reta que liga A e B. Essa linha passa pelo ponto (1,1), que não está em nenhum dos dois círculos, já que a distância desse ponto aos centros é maior que 1. Portanto, a linha reta entre A e B sai da união dos conjuntos convexos.
Resposta
Assim, mostramos que a união de dois conjuntos convexos (dois círculos que se tocam) não é convexo, porque existe uma linha reta entre dois pontos da união que não está completamente dentro dela. Isso comprova que a união de conjuntos convexos pode não ser convexo.
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