Seja U um subconjunto do plano. Dizemos que U é estrelado relativamente a um ponto P quando, para todo ponto A in U, o segmento P A está totalmente contido em U. Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos fala sobre conjuntos convexos e conjuntos estrelados no plano. A gente precisa provar que todo conjunto convexo é também estrelado em relação a qualquer um dos seus pontos. Além disso, tem que dar um exemplo de um conjunto que é estrelado, mas que não é convexo. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de conjunto convexo e conjunto estrelado, e usar algumas propriedades geométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto C é convexo se, para quaisquer dois pontos A e B dentro de C, o segmento de reta que liga A a B também está totalmente contido em C. Em outras palavras, se você pegar qualquer dois pontos dentro do conjunto, qualquer ponto no meio entre eles também está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser estrelado em relação a um ponto P. Um conjunto U é estrelado em relação a P se, para todo ponto A em U, o segmento de reta que liga P a A está completamente dentro de U. Ou seja, P “vê” todos os pontos do conjunto sem “sair” do conjunto.

Passo 4

Para mostrar que todo conjunto convexo é também estrelado em relação a qualquer um de seus pontos, vamos considerar um conjunto convexo C e escolher um ponto qualquer P em C. Queremos mostrar que para todo ponto A em C, o segmento PA está dentro de C.

Passo 5

Como C é convexo, e P e A são pontos dentro de C, por definição, todo o segmento PA deve estar dentro de C. Isso significa exatamente que C é estrelado em relação a P.

Passo 6

Então, concluímos que todo conjunto convexo é também um conjunto estrelado em relação a qualquer um de seus pontos, porque a convexidade garante que qualquer segmento entre dois pontos do conjunto permanece dentro dele.

Passo 7

Agora, precisamos dar um exemplo de um conjunto que é estrelado, mas que não é convexo. Pense em uma estrela de cinco pontas desenhada no plano. Escolha o ponto central da estrela como o ponto P. Para qualquer ponto na estrela, o segmento que liga P a esse ponto está dentro da estrela, então ela é estrelada em relação a P. No entanto, se você pegar dois pontos nas pontas da estrela, o segmento que os liga pode passar por áreas que não estão na estrela, então ela não é convexa.

Resposta

Portanto, mostramos que todo conjunto convexo é estrelado em relação a qualquer um de seus pontos e exemplificamos um conjunto estrelado que não é convexo ao considerar a forma de uma estrela de cinco pontas.

Exercícios relacionados