Seja um subconjunto do plano. Dizemos que é estrelado relativamente a um ponto quando, para todo ponto , o segmento está totalmente contido em . Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos fala sobre conjuntos convexos e conjuntos estrelados no plano. A gente precisa provar que todo conjunto convexo é também estrelado em relação a qualquer um dos seus pontos. Além disso, tem que dar um exemplo de um conjunto que é estrelado, mas que não é convexo. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de conjunto convexo e conjunto estrelado, e usar algumas propriedades geométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos e dentro de , o segmento de reta que liga a também está totalmente contido em . Em outras palavras, se você pegar qualquer dois pontos dentro do conjunto, qualquer ponto no meio entre eles também está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser estrelado em relação a um ponto . Um conjunto é estrelado em relação a se, para todo ponto em , o segmento de reta que liga a está completamente dentro de . Ou seja, “vê” todos os pontos do conjunto sem “sair” do conjunto.

Passo 4

Para mostrar que todo conjunto convexo é também estrelado em relação a qualquer um de seus pontos, vamos considerar um conjunto convexo e escolher um ponto qualquer em . Queremos mostrar que para todo ponto em , o segmento está dentro de .

Passo 5

Como é convexo, e e são pontos dentro de , por definição, todo o segmento deve estar dentro de . Isso significa exatamente que é estrelado em relação a .

Passo 6

Então, concluímos que todo conjunto convexo é também um conjunto estrelado em relação a qualquer um de seus pontos, porque a convexidade garante que qualquer segmento entre dois pontos do conjunto permanece dentro dele.

Passo 7

Agora, precisamos dar um exemplo de um conjunto que é estrelado, mas que não é convexo. Pense em uma estrela de cinco pontas desenhada no plano. Escolha o ponto central da estrela como o ponto . Para qualquer ponto na estrela, o segmento que liga a esse ponto está dentro da estrela, então ela é estrelada em relação a . No entanto, se você pegar dois pontos nas pontas da estrela, o segmento que os liga pode passar por áreas que não estão na estrela, então ela não é convexa.

Resposta

Portanto, mostramos que todo conjunto convexo é estrelado em relação a qualquer um de seus pontos e exemplificamos um conjunto estrelado que não é convexo ao considerar a forma de uma estrela de cinco pontas.

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Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.
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Suponha que . Calcule:
b) .
Seja uma função sobrejetora. Dados , definimos se, e somente se, ou . Mostre que é uma relação de equivalência sobre , cujas classes de equivalências são as imagens inversas de . Além disso, mostre que se , então a função definida como é bijetora e , em que é a função definida como . A relação chama-se o núcleo de .