Seja
um subconjunto do plano. Dizemos que
é estrelado relativamente a um ponto
quando, para todo ponto
, o segmento
está totalmente contido em
. Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos fala sobre conjuntos convexos e conjuntos estrelados no plano. A gente precisa provar que todo conjunto convexo é também estrelado em relação a qualquer um dos seus pontos. Além disso, tem que dar um exemplo de um conjunto que é estrelado, mas que não é convexo. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de conjunto convexo e conjunto estrelado, e usar algumas propriedades geométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto convexo. Um conjunto
é convexo se, para quaisquer dois pontos
e
dentro de
, o segmento de reta que liga
a
também está totalmente contido em
. Em outras palavras, se você pegar qualquer dois pontos dentro do conjunto, qualquer ponto no meio entre eles também está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser estrelado em relação a um ponto
. Um conjunto
é estrelado em relação a
se, para todo ponto
em
, o segmento de reta que liga
a
está completamente dentro de
. Ou seja,
“vê” todos os pontos do conjunto sem “sair” do conjunto.
Passo 4
Para mostrar que todo conjunto convexo é também estrelado em relação a qualquer um de seus pontos, vamos considerar um conjunto convexo
e escolher um ponto qualquer
em
. Queremos mostrar que para todo ponto
em
, o segmento
está dentro de
.
Passo 5
Como
é convexo, e
e
são pontos dentro de
, por definição, todo o segmento
deve estar dentro de
. Isso significa exatamente que
é estrelado em relação a
.
Passo 6
Então, concluímos que todo conjunto convexo é também um conjunto estrelado em relação a qualquer um de seus pontos, porque a convexidade garante que qualquer segmento entre dois pontos do conjunto permanece dentro dele.
Passo 7
Agora, precisamos dar um exemplo de um conjunto que é estrelado, mas que não é convexo. Pense em uma estrela de cinco pontas desenhada no plano. Escolha o ponto central da estrela como o ponto
. Para qualquer ponto na estrela, o segmento que liga
a esse ponto está dentro da estrela, então ela é estrelada em relação a
. No entanto, se você pegar dois pontos nas pontas da estrela, o segmento que os liga pode passar por áreas que não estão na estrela, então ela não é convexa.
Resposta
Portanto, mostramos que todo conjunto convexo é estrelado em relação a qualquer um de seus pontos e exemplificamos um conjunto estrelado que não é convexo ao considerar a forma de uma estrela de cinco pontas.
Exercícios relacionados
Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.
Sejam
e
conjuntos. Mostre que
.
Suponha que
. Calcule:
b) .
b)
Seja
uma função sobrejetora. Dados
, definimos
se, e somente se,
ou
. Mostre que
é uma relação de equivalência sobre
, cujas classes de equivalências
são as imagens inversas de
. Além disso, mostre que se
, então a função
definida como
é bijetora e
, em que
é a função definida como
. A relação
chama-se o núcleo de
.