Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que A^C-B^C=(A-B)^C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que , onde , e são conjuntos. A matéria que vamos usar aqui envolve operações com conjuntos, como complemento e diferença. Precisaremos entender o que significa o complemento de um conjunto e como as operações de diferença funcionam para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições básicas:
  • Complemento de um conjunto: O complemento de , denotado por , é o conjunto de todos os elementos que estão em mas não estão em , ou seja, .
  • Diferença entre conjuntos: A diferença é o conjunto de elementos que estão em mas não em , ou seja, .

Passo 3

Vamos começar manipulando a expressão A^C - B^C = (C - A) - (C - B) :
Isso significa que estamos pegando os elementos que estão em mas não em e removendo os que também não estão em .

Passo 4

Agora, reescrevemos a diferença como uma interseção com o complemento:
(C - A) - (C - B) = (C - A) cap (C - B)^C
Sabemos que o complemento de (C - A) cap B = x in C | x notin A e x in B é , então:

Passo 5

Vamos agora analisar o lado direito da equação, (A - B)^C = C - (A - B) = C - x in A | x notin B :
Isso inclui todos os elementos de que não estão em , ou seja, todos os elementos que estão fora de ou que estão em .

Passo 6

Comparando as duas expressões:
  • De , obtivemos .
  • De , temos todos os elementos de que não estão em , que também inclui aqueles que não estão em mas estão em .
Portanto, as duas expressões representam o mesmo conjunto.

Resposta

Conseguimos mostrar que .

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