Sejam
e
conjuntos. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que
, onde
,
e
são conjuntos. A matéria que vamos usar aqui envolve operações com conjuntos, como complemento e diferença. Precisaremos entender o que significa o complemento de um conjunto e como as operações de diferença funcionam para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições básicas:
- Complemento de um conjunto: O complemento de
, denotado por , é o conjunto de todos os elementos que estão em mas não estão em , ou seja, . - Diferença entre conjuntos: A diferença
é o conjunto de elementos que estão em mas não em , ou seja, .
Passo 3
Vamos começar manipulando a expressão
:
Isso significa que estamos pegando os elementos que estão em
mas não em
e removendo os que também não estão em
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a diferença como uma interseção com o complemento:
Sabemos que o complemento de
é
, então:
Passo 5
Vamos agora analisar o lado direito da equação,
:
Isso inclui todos os elementos de
que não estão em
, ou seja, todos os elementos que estão fora de
ou que estão em
.
Passo 6
Comparando as duas expressões:
- De
, obtivemos . - De
, temos todos os elementos de que não estão em , que também inclui aqueles que não estão em mas estão em .
Portanto, as duas expressões representam o mesmo conjunto.
Resposta
Conseguimos mostrar que
.
Exercícios relacionados
Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a união de convexos pode não ser um convexo.
Sejam
e
conjuntos. Mostre que
.
Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.
Seja
um subconjunto do plano. Dizemos que
é estrelado relativamente a um ponto
quando, para todo ponto
, o segmento
está totalmente contido em
. Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.