Suponha que . Calcule:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular . Estamos lidando com produtos vetoriais e produtos escalares na matéria de álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades distributivas do produto vetorial e as regras do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto vetorial usando a distributividade:

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. permanece como está.
  2. .
  3. porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero.
  4. .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com :

Passo 5

Sabemos que o produto escalar de um produto vetorial com qualquer vetor que está nos fatores é zero. Ou seja:
Portanto, simplificamos para:

Passo 6

Vamos reorganizar o produto escalar usando a propriedade cíclica do produto misto:
Sabemos pelo enunciado que . Portanto:

Resposta

O valor calculado é .

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Seja um subconjunto do plano. Dizemos que é estrelado relativamente a um ponto quando, para todo ponto , o segmento está totalmente contido em . Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.
Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.
Seja uma função sobrejetora. Dados , definimos se, e somente se, ou . Mostre que é uma relação de equivalência sobre , cujas classes de equivalências são as imagens inversas de . Além disso, mostre que se , então a função definida como é bijetora e , em que é a função definida como . A relação chama-se o núcleo de .
Sejam uma função e uma relação de equivalência sobre determinada por . Mostre que se, e somente se, implica que , para todos .