Suponha que
. Calcule:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular
. Estamos lidando com produtos vetoriais e produtos escalares na matéria de álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades distributivas do produto vetorial e as regras do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o produto vetorial
usando a distributividade:
Passo 3
Vamos simplificar cada termo:
-
permanece como está. -
. -
porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero. -
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com
:
Passo 5
Sabemos que o produto escalar de um produto vetorial com qualquer vetor que está nos fatores é zero. Ou seja:
Portanto, simplificamos para:
Passo 6
Vamos reorganizar o produto escalar usando a propriedade cíclica do produto misto:
Sabemos pelo enunciado que
. Portanto:
Resposta
O valor calculado é
.
Exercícios relacionados
Seja
um subconjunto do plano. Dizemos que
é estrelado relativamente a um ponto
quando, para todo ponto
, o segmento
está totalmente contido em
. Mostre que conjuntos convexos são estrelados relativamente a qualquer um de seus pontos. Dê um cxemplo de conjunto estrelado que não é convexo.
Se um conjunto é estrelado relativamente a todos os seus pontos, mostre que ele é convexo.
Seja
uma função sobrejetora. Dados
, definimos
se, e somente se,
ou
. Mostre que
é uma relação de equivalência sobre
, cujas classes de equivalências
são as imagens inversas de
. Além disso, mostre que se
, então a função
definida como
é bijetora e
, em que
é a função definida como
. A relação
chama-se o núcleo de
.
Sejam
uma função e
uma relação de equivalência sobre
determinada por
. Mostre que
se, e somente se,
implica que
, para todos
.