Suponha que u times v cdot w=2. Calcule:
b) (2 u-v) times(v+3 w) cdot(-v).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular . Estamos lidando com produtos vetoriais e produtos escalares na matéria de álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades distributivas do produto vetorial e as regras do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o produto vetorial (2 u - v) times (v + 3w) = 2u times v + 2u times 3w - v times v - v times 3w usando a distributividade:

Passo 3

Vamos simplificar cada termo:
  1. 2u times v + 6u times w - 0 - 3v times w = 2u times v + 6u times w - 3v times w permanece como está.
  2. .
  3. porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero.
  4. .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar desse resultado com (2u times v + 6u times w - 3v times w) cdot (-v) = -2(u times v) cdot v - 6(u times w) cdot v + 3(v times w) cdot v :

Passo 5

Sabemos que o produto escalar de um produto vetorial com qualquer vetor que está nos fatores é zero. Ou seja:
(u times v) cdot v = 0 e (v times w) cdot v = 0
Portanto, simplificamos para:
-6(u times w) cdot v

Passo 6

Vamos reorganizar o produto escalar usando a propriedade cíclica do produto misto:
(u times w) cdot v = u times v cdot w
Sabemos pelo enunciado que -6 times 2 = -12 . Portanto:

Resposta

O valor calculado é .

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